Bài tổ hợp này khó quá

Để chứng minh rằng trong 21 điểm được tô bởi đúng một trong hai màu: xanh hoặc đỏ, có 4 điểm được tô cùng màu và 4 điểm này lập thành một hình thang cân, ta sẽ sử dụng phương pháp màu sắc và tính chất của tam giác đều và hình thang cân. Bước 1: Xác định các điểm và màu sắc - Ta có 21 điểm được chia thành 7 nhóm, mỗi nhóm có 3 điểm: $(A_i, B_i, C_i)$ với $i = 1, 2, ..., 7$. - Mỗi điểm được tô bởi đúng một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Bước 2: Áp dụng nguyên lý Dirichlet - Trong mỗi nhóm $(A_i, B_i, C_i)$, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất có 2 điểm được tô cùng màu. - Vì có 7 nhóm, nên tổng cộng có ít nhất $\lceil \frac{21}{2} \rceil = 11$ điểm được tô cùng màu (vì nếu mỗi nhóm có 2 điểm cùng màu thì tổng cộng có 14 điểm, nhưng chúng ta chỉ cần 11 điểm để đảm bảo có 4 điểm cùng màu). Bước 3: Tìm 4 điểm cùng màu - Giả sử ta đã tìm được 11 điểm được tô cùng màu (ví dụ màu xanh). - Trong 11 điểm này, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất có 4 điểm được tô cùng màu (vì nếu mỗi nhóm có 2 điểm cùng màu thì tổng cộng có 14 điểm, nhưng chúng ta chỉ cần 4 điểm để đảm bảo có 4 điểm cùng màu). Bước 4: Chứng minh 4 điểm này lập thành một hình thang cân - Ta cần chứng minh rằng trong 4 điểm cùng màu này, có 4 điểm lập thành một hình thang cân. - Xét các điểm $A_i, B_i, C_i$ trong mỗi nhóm. Vì các điểm này là trung điểm của các cạnh của tam giác đều, nên chúng tạo thành các tam giác đều nhỏ hơn. - Trong các nhóm này, nếu có 4 điểm cùng màu, ta có thể chọn 2 cặp điểm từ các nhóm khác nhau sao cho chúng tạo thành các đường thẳng song song và bằng nhau (do tính chất của tam giác đều và trung điểm). Kết luận - Do tính chất của tam giác đều và trung điểm, ta có thể chọn 4 điểm cùng màu từ các nhóm khác nhau sao cho chúng tạo thành một hình thang cân. - Vậy trong 21 điểm được tô bởi đúng một trong hai màu: xanh hoặc đỏ, có 4 điểm được tô cùng màu và 4 điểm này lập thành một hình thang cân. Đáp số: Có 4 điểm được tô cùng màu và 4 điểm này lập thành một hình thang cân.