$\lim\limits_{x\to0}$ \frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x} $$

Để tính giới hạn $\lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x}$, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x}$ có nghĩa khi $x \neq 0$. Bước 2: Nhân lượng liên hợp Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{1-x} - 1$. Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{1-x} - 1$ là $\sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{1-x} + 1$. \[ \lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x} = \lim\limits_{x\to0} \frac{(\sqrt[3]{1-x}-1)(\sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{1-x} + 1)}{x(\sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{1-x} + 1)} \] Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, ta có: \[ = \lim\limits_{x\to0} \frac{(1-x)-1}{x(\sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{1-x} + 1)} \] \[ = \lim\limits_{x\to0} \frac{-x}{x(\sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{1-x} + 1)} \] \[ = \lim\limits_{x\to0} \frac{-1}{\sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{1-x} + 1} \] Bước 4: Thay $x = 0$ vào biểu thức \[ = \frac{-1}{\sqrt[3]{(1-0)^2} + \sqrt[3]{1-0} + 1} \] \[ = \frac{-1}{1 + 1 + 1} \] \[ = \frac{-1}{3} \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x} = -\frac{1}{3} \]