sossssssss

Câu 1. Ta sẽ sử dụng Định lý Cosine để tìm số đo góc B trong tam giác ABC. Theo Định lý Cosine: \[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ \cos B = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} \] \[ \cos B = \frac{25 + 64 - 49}{80} \] \[ \cos B = \frac{40}{80} \] \[ \cos B = \frac{1}{2} \] Biết rằng $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, ta suy ra: \[ B = 60^\circ \] Vậy số đo góc B là $60^\circ$. Đáp án đúng là: B. $60^\circ$. Câu 2. Để kiểm tra xem phát biểu nào trong các phát biểu đã cho là sai, chúng ta sẽ xem xét từng phát biểu một. A. \( S = pr \) Phát biểu này đúng vì công thức tính diện tích \( S \) của tam giác thông qua bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) và nửa chu vi \( p \) là \( S = pr \). B. \( S = \frac{abc}{4R} \) Phát biểu này cũng đúng vì công thức tính diện tích \( S \) của tam giác thông qua ba cạnh \( a, b, c \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) là \( S = \frac{abc}{4R} \). C. \( S = p\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)} \) Phát biểu này đúng vì đây là công thức Heron để tính diện tích \( S \) của tam giác thông qua nửa chu vi \( p \) và ba cạnh \( a, b, c \). D. \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \) Phát biểu này cũng đúng vì công thức tính diện tích \( S \) của tam giác thông qua hai cạnh \( a, b \) và sin của góc giữa chúng \( \sin C \) là \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \). Như vậy, tất cả các phát biểu đều đúng. Do đó, không có phát biểu nào là sai. Đáp án: Không có phát biểu nào sai. Câu 3. Để tính tổng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$, ta sẽ áp dụng quy tắc tam giác và tính chất cộng vectơ. Bước 1: Ta nhóm các vectơ theo quy tắc tam giác: - $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$ - $\overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{RP}$ - $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$ Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR} = (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}) + (\overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP}) + (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR}) \] Bước 3: Thay các kết quả từ bước 1 vào: \[ = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{RP} + \overrightarrow{PR} \] Bước 4: Áp dụng tính chất cộng vectơ: \[ \overrightarrow{RP} + \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{RP} + \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{MP} \] Vậy tổng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$ là $\overrightarrow{MP}$. Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{MP}$. Câu 4. Trước tiên, chúng ta sẽ sử dụng Định lý sin trong tam giác ABC để kiểm tra các khẳng định đã cho. Theo Định lý sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ - Đây là đúng theo Định lý sin. B. $\frac{b}{\sin B} = \frac{R}{2}$ - Điều này sai vì theo Định lý sin, $\frac{b}{\sin B} = 2R$, không phải $\frac{R}{2}$. C. $\frac{c}{\sin C} = 2R$ - Điều này đúng theo Định lý sin. D. $\frac{a}{\sin A} = 2R$ - Điều này đúng theo Định lý sin. Như vậy, khẳng định sai là: B. $\frac{b}{\sin B} = \frac{R}{2}$ Đáp án: B. Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình vuông ABCD, điểm O là tâm của hình vuông, tức là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta sẽ tính $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$. Ta có: \[ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các đáp án đã cho: A. $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AD}$ B. $\overrightarrow{BC}$ C. $\overrightarrow{AB}$ D. $\overrightarrow{DA}$ Trong các lựa chọn này, ta thấy rằng $\overrightarrow{CB}$ chính là $\overrightarrow{BC}$ nhưng ngược chiều. Do đó, $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$. Tuy nhiên, ta cần tìm $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$, và ta đã chứng minh rằng nó bằng $\overrightarrow{CB}$. Vì vậy, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{BC}$ Đáp án: B. $\overrightarrow{BC}$ Câu 6. Để kiểm tra cặp số (2; -1) là nghiệm của bất phương trình nào, chúng ta sẽ thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \) vào từng phương án và kiểm tra xem bất phương trình đó có đúng hay không. A. \( x + 3y + 1 < 0 \) Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \): \[ 2 + 3(-1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \] 0 không nhỏ hơn 0, nên cặp số (2; -1) không thỏa mãn bất phương trình này. B. \( -x - 3y + 1 < 0 \) Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \): \[ -2 - 3(-1) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2 \] 2 không nhỏ hơn 0, nên cặp số (2; -1) không thỏa mãn bất phương trình này. C. \( x + y - 3 > 0 \) Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \): \[ 2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 = -2 \] -2 không lớn hơn 0, nên cặp số (2; -1) không thỏa mãn bất phương trình này. D. \( -x - y < 0 \) Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \): \[ -2 - (-1) = -2 + 1 = -1 \] -1 nhỏ hơn 0, nên cặp số (2; -1) thỏa mãn bất phương trình này. Vậy cặp số (2; -1) là nghiệm của bất phương trình: \[ \boxed{D. -x - y < 0} \] Câu 7. Trước tiên, ta vẽ hình tam giác ABC với các thông tin đã cho: - AB = 2 - BC = 2√3 - Góc B = 30° Ta sẽ sử dụng Định lý Cosine để tính độ dài cạnh AC. Định lý Cosine trong tam giác ABC là: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B}) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ AC^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) \] Biết rằng \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ AC^2 = 4 + 12 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC^2 = 4 + 12 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} \] \[ AC^2 = 4 + 12 - 12 \] \[ AC^2 = 4 \] Do đó: \[ AC = \sqrt{4} = 2 \] Vậy độ dài cạnh AC là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 8. Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích dựa trên hai cạnh và sin của góc giữa chúng: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}) \] Trong đó: - \( AB = 3 \) - \( AC = 6 \) - \( \widehat{BAC} = 60^\circ \) Biết rằng \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta thay các giá trị này vào công thức: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Tính toán tiếp: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \] Vậy diện tích tam giác ABC là: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \] Đáp án đúng là: C. \( S_{\Delta ABC} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \). Câu 9. Trong hình bình hành ABCD, ta có thể sử dụng tính chất của vectơ để xác định đẳng thức đúng. Theo quy tắc tam giác trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Đây là đẳng thức đúng theo quy tắc tam giác trong hình bình hành. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{CD}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{BD}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{BC}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. Câu 10. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hai vectơ cùng hướng nếu chúng có cùng phương và cùng chiều. - Vectơ $\overrightarrow{MP}$ có phương từ M đến P. - Vectơ $\overrightarrow{PN}$ có phương từ P đến N. - Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có phương từ M đến N. - Vectơ $\overrightarrow{NM}$ có phương từ N đến M. - Vectơ $\overrightarrow{PM}$ có phương từ P đến M. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng cặp vectơ: A. $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$: - $\overrightarrow{MP}$ có phương từ M đến P. - $\overrightarrow{PN}$ có phương từ P đến N. - Hai vectơ này ngược chiều nhau, do đó không cùng hướng. B. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PN}$: - $\overrightarrow{MN}$ có phương từ M đến N. - $\overrightarrow{PN}$ có phương từ P đến N. - Hai vectơ này ngược chiều nhau, do đó không cùng hướng. C. $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{PM}$: - $\overrightarrow{NM}$ có phương từ N đến M. - $\overrightarrow{PM}$ có phương từ P đến M. - Hai vectơ này cùng phương và cùng chiều, do đó cùng hướng. D. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PM}$: - $\overrightarrow{MN}$ có phương từ M đến N. - $\overrightarrow{PM}$ có phương từ P đến M. - Hai vectơ này ngược chiều nhau, do đó không cùng hướng. Vậy cặp vectơ cùng hướng là $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{PM}$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{PM}$. Câu 11. Để kiểm tra điểm \( O(0;0) \) có thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các lựa chọn đã cho hay không, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của điểm \( O(0;0) \) vào từng hệ bất phương trình và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện của hệ bất phương trình đó hay không. A. \(\left\{\begin{array}{l} x + y - 1 > 0 \\ x - 2y + 4 > 0 \end{array}\right.\) Thay \( x = 0 \) và \( y = 0 \): - \( 0 + 0 - 1 > 0 \Rightarrow -1 > 0 \) (sai) - \( 0 - 2 \cdot 0 + 4 > 0 \Rightarrow 4 > 0 \) (đúng) Vì có một bất phương trình sai, nên điểm \( O(0;0) \) không thuộc miền nghiệm của hệ này. B. \(\left\{\begin{array}{l} x + y - 1 > 0 \\ x - 2y - 4 > 0 \end{array}\right.\) Thay \( x = 0 \) và \( y = 0 \): - \( 0 + 0 - 1 > 0 \Rightarrow -1 > 0 \) (sai) - \( 0 - 2 \cdot 0 - 4 > 0 \Rightarrow -4 > 0 \) (sai) Vì cả hai bất phương trình đều sai, nên điểm \( O(0;0) \) không thuộc miền nghiệm của hệ này. C. \(\left\{\begin{array}{l} x + y + 1 > 0 \\ x - 2y + 4 > 0 \end{array}\right.\) Thay \( x = 0 \) và \( y = 0 \): - \( 0 + 0 + 1 > 0 \Rightarrow 1 > 0 \) (đúng) - \( 0 - 2 \cdot 0 + 4 > 0 \Rightarrow 4 > 0 \) (đúng) Vì cả hai bất phương trình đều đúng, nên điểm \( O(0;0) \) thuộc miền nghiệm của hệ này. D. \(\left\{\begin{array}{l} x + y + 1 > 0 \\ x - 2y - 4 > 0 \end{array}\right.\) Thay \( x = 0 \) và \( y = 0 \): - \( 0 + 0 + 1 > 0 \Rightarrow 1 > 0 \) (đúng) - \( 0 - 2 \cdot 0 - 4 > 0 \Rightarrow -4 > 0 \) (sai) Vì có một bất phương trình sai, nên điểm \( O(0;0) \) không thuộc miền nghiệm của hệ này. Kết luận: Điểm \( O(0;0) \) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình: C. \(\left\{\begin{array}{l} x + y + 1 > 0 \\ x - 2y + 4 > 0 \end{array}\right.\) Đáp án đúng là: C. Câu 12. Trước tiên, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của tam giác dựa trên hai cạnh và sin của góc giữa chúng. Công thức này là: \[ S = \frac{1}{2} ab \sin C \] Trong đó: - \( a \) và \( b \) là độ dài hai cạnh của tam giác. - \( C \) là góc giữa hai cạnh \( a \) và \( b \). Áp dụng công thức này vào các lựa chọn đã cho: A. \( S = \frac{1}{2} bc \sin C \) B. \( S = \frac{1}{2} ac \sin B \) C. \( S = \frac{1}{2} ab \sin A \) D. \( S = ab \sin C \) Ta thấy rằng: - Lựa chọn A: \( S = \frac{1}{2} bc \sin C \) là đúng vì nó đúng theo công thức tính diện tích tam giác. - Lựa chọn B: \( S = \frac{1}{2} ac \sin B \) cũng đúng theo công thức tính diện tích tam giác. - Lựa chọn C: \( S = \frac{1}{2} ab \sin A \) cũng đúng theo công thức tính diện tích tam giác. - Lựa chọn D: \( S = ab \sin C \) sai vì thiếu nhân với \(\frac{1}{2}\). Do đó, các lựa chọn đúng là A, B và C. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của câu hỏi, chỉ yêu cầu chọn một lựa chọn đúng duy nhất. Vì vậy, ta sẽ chọn một trong ba lựa chọn đúng trên. Đáp án: C. \( S = \frac{1}{2} ab \sin A \). Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một bằng cách sử dụng các tính chất của các hàm lượng giác. A. $\tan(180^0 - \alpha) = \tan \alpha (\alpha \ne 90^0)$ Theo tính chất của hàm tan: \[ \tan(180^0 - \alpha) = -\tan \alpha \] Do đó, khẳng định A sai. B. $\cos(180^0 - \alpha) = \cos \alpha$ Theo tính chất của hàm cos: \[ \cos(180^0 - \alpha) = -\cos \alpha \] Do đó, khẳng định B sai. C. $\cot(180^0 - \alpha) = \cot \alpha (0^0 < \alpha < 180^0)$ Theo tính chất của hàm cot: \[ \cot(180^0 - \alpha) = -\cot \alpha \] Do đó, khẳng định C sai. D. $\sin(180^0 - \alpha) = \sin \alpha$ Theo tính chất của hàm sin: \[ \sin(180^0 - \alpha) = \sin \alpha \] Do đó, khẳng định D đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. $\sin(180^0 - \alpha) = \sin \alpha$. Câu 14. Để kiểm tra các khẳng định, ta sẽ sử dụng các giá trị lượng giác cơ bản đã biết: - $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ - $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ - $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $\cos 60^\circ = \cos 30^\circ$ Ta có: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Vì $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên khẳng định này sai. B. $\cos 30^\circ = \sin 60^\circ$ Ta có: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Vì $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên khẳng định này đúng. C. $\sin 60^\circ = \sin 120^\circ$ Ta có: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Vì $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên khẳng định này đúng. D. $\cos 60^\circ = \sin 30^\circ$ Ta có: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ Vì $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, nên khẳng định này đúng. Kết luận: Khẳng định sai là A. $\cos 60^\circ = \cos 30^\circ$