Cho phương trình: x^2-2(m+1)x+m-6=0 a)giải phương trình khi m =1 b)Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu c).Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương

a) Giải phương trình khi m = 1: Thay m = 1 vào phương trình, ta được: \[ x^2 - 2(1 + 1)x + 1 - 6 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x_1 = 5 \) và \( x_2 = -1 \). b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu: Phương trình \( x^2 - 2(m + 1)x + m - 6 = 0 \) có hai nghiệm trái dấu khi tích của hai nghiệm nhỏ hơn 0. Theo định lý Vi-et, tích của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 6}{1} = m - 6 \] Để hai nghiệm trái dấu, ta cần: \[ m - 6 < 0 \] \[ m < 6 \] Vậy \( m < 6 \) để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương: Phương trình \( x^2 - 2(m + 1)x + m - 6 = 0 \) có hai nghiệm dương khi: 1. Tổng của hai nghiệm dương (\( x_1 + x_2 \)) lớn hơn 0. 2. Tích của hai nghiệm dương (\( x_1 \cdot x_2 \)) lớn hơn 0. 3. Phương trình có hai nghiệm thực (delta lớn hơn hoặc bằng 0). Theo định lý Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m + 1) \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m - 6 \] Để hai nghiệm dương, ta cần: 1. \( 2(m + 1) > 0 \) \[ m + 1 > 0 \] \[ m > -1 \] 2. \( m - 6 > 0 \) \[ m > 6 \] 3. Phương trình có hai nghiệm thực: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 6) \geq 0 \] \[ 4(m + 1)^2 - 4(m - 6) \geq 0 \] \[ 4(m^2 + 2m + 1) - 4m + 24 \geq 0 \] \[ 4m^2 + 8m + 4 - 4m + 24 \geq 0 \] \[ 4m^2 + 4m + 28 \geq 0 \] \[ m^2 + m + 7 \geq 0 \] Bất đẳng thức \( m^2 + m + 7 \geq 0 \) luôn đúng với mọi \( m \) vì \( m^2 + m + 7 \) là một tam thức bậc hai có delta âm (\( \Delta = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = -27 \)), do đó nó luôn lớn hơn 0. Tóm lại, để phương trình có hai nghiệm dương, ta cần: \[ m > 6 \] Vậy \( m > 6 \) để phương trình có hai nghiệm dương.