giuo em voi ạ

Câu 5: Để xác định đồ thị hàm số nào có dạng như đường cong trong hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = x^3 - 3x + 2 \) - Đây là hàm đa thức bậc ba, có dạng \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Đồ thị của hàm số này thường có dạng S, với hai điểm cực đại và cực tiểu. - Ta tính đạo hàm để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 3x^2 - 3 \] \[ y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \] Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 2 = 4 \] Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực trị tại \( (1, 0) \) và \( (-1, 4) \). B. \( y = \frac{x+2}{x-1} \) - Đây là hàm phân thức, có dạng \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \). Đồ thị của hàm số này thường có dạng đường cong với một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. - Đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) (vì mẫu số bằng 0 tại \( x = 1 \)). - Đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) (vì giới hạn của \( y \) khi \( x \to \infty \) là 1). C. \( y = \frac{x-2}{x-1} \) - Đây cũng là hàm phân thức, có dạng \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \). Đồ thị của hàm số này cũng có dạng đường cong với một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. - Đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) (vì mẫu số bằng 0 tại \( x = 1 \)). - Đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) (vì giới hạn của \( y \) khi \( x \to \infty \) là 1). D. \( y = -x^4 + 5x^2 - 1 \) - Đây là hàm đa thức bậc bốn, có dạng \( y = ax^4 + bx^2 + c \). Đồ thị của hàm số này thường có dạng U hoặc W, với các điểm cực đại và cực tiểu. - Ta tính đạo hàm để tìm các điểm cực trị: \[ y' = -4x^3 + 10x \] \[ y' = 0 \Rightarrow -4x^3 + 10x = 0 \Rightarrow x(-4x^2 + 10) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \] Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = -0^4 + 5 \cdot 0^2 - 1 = -1 \] Tại \( x = \sqrt{\frac{5}{2}} \): \[ y\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = -\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^4 + 5 \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 - 1 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 1 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4} \] Tại \( x = -\sqrt{\frac{5}{2}} \): \[ y\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = -\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^4 + 5 \left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 - 1 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 1 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4} \] Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực đại tại \( \left(\sqrt{\frac{5}{2}}, \frac{21}{4}\right) \) và \( \left(-\sqrt{\frac{5}{2}}, \frac{21}{4}\right) \), và một điểm cực tiểu tại \( (0, -1) \). So sánh các đồ thị trên, ta thấy rằng đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) có dạng gần giống với đường cong trong hình vẽ, với hai điểm cực đại và cực tiểu. Vậy đáp án đúng là: A. \( y = x^3 - 3x + 2 \). Câu 6: Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. A. \( y = \frac{x - 2}{x - 1} \) - Tìm điểm bất định: \( x = 1 \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x - 2}{x - 1} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 2}{x - 1} = -\infty \] - Giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2}{x - 1} = 1 \] B. \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \) - Tìm điểm bất định: \( x = -1 \) - Giới hạn khi \( x \to -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{x - 2}{x + 1} = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} \frac{x - 2}{x + 1} = +\infty \] - Giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2}{x + 1} = 1 \] C. \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \) - Tìm điểm bất định: \( x = 1 \) - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{2x + 1}{x - 1} = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 1}{x - 1} = +\infty \] - Giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = 2 \] D. \( y = -x^3 + 3x + 2 \) - Hàm số này là một đa thức bậc ba, có dạng đồ thị là một đường cong uốn lượn. - Đạo hàm: \[ y' = -3x^2 + 3 \] - Điểm cực đại và cực tiểu: \[ y' = 0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] - Tại \( x = -1 \): \( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 4 \) (điểm cực đại) - Tại \( x = 1 \): \( y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = 4 \) (điểm cực tiểu) So sánh các hàm số trên, ta thấy rằng đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x + 2 \) có dạng uốn lượn và có hai điểm cực đại và cực tiểu, phù hợp với đường cong trong hình. Vậy đáp án đúng là: D. \( y = -x^3 + 3x + 2 \). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích đồ thị của hàm số $y = \frac{ax - b}{x - 1}$ và xác định các điều kiện về các tham số $a$ và $b$. 1. Xác định đường tiệm cận đứng và ngang: - Đường tiệm cận đứng của hàm số là $x = 1$ vì mẫu số $x - 1$ bằng 0 tại điểm này. - Đường tiệm cận ngang của hàm số là $y = a$. Điều này xuất phát từ việc khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{ax - b}{x - 1}$ sẽ tiến đến $a$. 2. Phân tích hành vi của hàm số gần đường tiệm cận đứng: - Khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái ($x < 1$), giá trị của $y$ sẽ tiến đến $-\infty$ hoặc $+\infty$ tùy thuộc vào dấu của $a$ và $b$. - Khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải ($x > 1$), giá trị của $y$ cũng sẽ tiến đến $-\infty$ hoặc $+\infty$ tùy thuộc vào dấu của $a$ và $b$. 3. Xác định dấu của $a$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái, giá trị của $y$ tiến đến $-\infty$, và khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải, giá trị của $y$ tiến đến $+\infty$. Điều này cho thấy $a > 0$. 4. Xác định dấu của $b$: - Ta biết rằng khi $x = 0$, giá trị của $y$ là $y = \frac{-b}{-1} = b$. Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $x = 0$, giá trị của $y$ là dương, do đó $b > 0$. 5. So sánh $a$ và $b$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $x$ tiến đến vô cùng, giá trị của $y$ tiến đến $a$. Do đó, $a$ phải lớn hơn $b$ để đảm bảo rằng giá trị của $y$ tiến đến $a$ khi $x$ tiến đến vô cùng. Từ các phân tích trên, ta có: - $a > 0$ - $b > 0$ - $a > b$ Do đó, khẳng định đúng là: D. $0 < a < b$. Đáp án: D. $0 < a < b$. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin từ đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \). 1. Xác định điểm cắt trục y: - Khi \( x = 0 \), ta có \( y = \frac{b}{c} \). - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \( x = 0 \), giá trị của \( y \) là 2. Do đó, ta có: \[ \frac{b}{c} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 2c \] 2. Xác định đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \) là \( x = -c \). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Do đó, ta có: \[ -c = -1 \quad \Rightarrow \quad c = 1 \] 3. Xác định điểm cắt trục x: - Khi \( y = 0 \), ta có \( ax + b = 0 \). - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \( y = 0 \), giá trị của \( x \) là 2. Do đó, ta có: \[ a(2) + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = 0 \] - Thay \( b = 2c \) vào phương trình trên, ta có: \[ 2a + 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + 2(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \] 4. Tính giá trị của \( a + 2b + 3c \): - Ta đã tìm được \( a = -1 \), \( b = 2c = 2(1) = 2 \), và \( c = 1 \). - Do đó: \[ a + 2b + 3c = (-1) + 2(2) + 3(1) = -1 + 4 + 3 = 6 \] Vậy giá trị của \( a + 2b + 3c \) là 6. Đáp án đúng là C. 6.