Giúp mình với!

Câu 1. a) Ta có: \[ A = \frac{4^5 \cdot 9^4 - 2 \cdot 6^9}{2^{10} \cdot 3^8 + 6^8 \cdot 20} \] Chúng ta sẽ biến đổi từng phần tử trong biểu thức: \[ 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} \] \[ 9^4 = (3^2)^4 = 3^8 \] \[ 6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9 \] \[ 2^{10} \cdot 3^8 = 2^{10} \cdot 3^8 \] \[ 6^8 \cdot 20 = (2 \cdot 3)^8 \cdot 20 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 20 \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{2^{10} \cdot 3^8 - 2 \cdot 2^9 \cdot 3^9}{2^{10} \cdot 3^8 + 2^8 \cdot 3^8 \cdot 20} \] Rút gọn chung: \[ A = \frac{2^{10} \cdot 3^8 - 2^{10} \cdot 3^9}{2^{10} \cdot 3^8 + 2^8 \cdot 3^8 \cdot 20} \] \[ = \frac{2^{10} \cdot 3^8 (1 - 3)}{2^{10} \cdot 3^8 (1 + 20/2^2)} \] \[ = \frac{2^{10} \cdot 3^8 (-2)}{2^{10} \cdot 3^8 (1 + 5)} \] \[ = \frac{-2}{6} \] \[ = -\frac{1}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = -\frac{1}{3} \] b) Ta có: \[ B = \frac{0,4 - \frac{2}{7} + \frac{2}{11}}{0,6 - \frac{3}{7} + \frac{3}{11}} - \frac{\frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10}}{\frac{3}{6} - \frac{3}{8} + 0,3} \] Chúng ta sẽ biến đổi từng phần tử trong biểu thức: \[ 0,4 = \frac{2}{5}, \quad 0,6 = \frac{3}{5}, \quad 0,3 = \frac{3}{10} \] Biến đổi từng phân số: \[ 0,4 - \frac{2}{7} + \frac{2}{11} = \frac{2}{5} - \frac{2}{7} + \frac{2}{11} \] \[ 0,6 - \frac{3}{7} + \frac{3}{11} = \frac{3}{5} - \frac{3}{7} + \frac{3}{11} \] \[ \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} = \frac{40 - 30 + 24}{240} = \frac{34}{240} = \frac{17}{120} \] \[ \frac{3}{6} - \frac{3}{8} + 0,3 = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} + \frac{3}{10} = \frac{40 - 30 + 24}{80} = \frac{34}{80} = \frac{17}{40} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ B = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{7} + \frac{2}{11}}{\frac{3}{5} - \frac{3}{7} + \frac{3}{11}} - \frac{\frac{17}{120}}{\frac{17}{40}} \] Rút gọn chung: \[ B = \frac{2 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{11} \right)}{3 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{11} \right)} - \frac{1}{3} \] \[ = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \] \[ = \frac{1}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là: \[ B = \frac{1}{3} \] Câu 2. a) Ta có: \[ \frac{x+1}{2022} + \frac{x+2}{2021} = \frac{x+3}{2020} + \frac{x+4}{2019} \] Nhân cả hai vế với 2022 × 2021 × 2020 × 2019 ta được: \[ (x+1) \times 2021 \times 2020 \times 2019 + (x+2) \times 2022 \times 2020 \times 2019 = (x+3) \times 2022 \times 2021 \times 2019 + (x+4) \times 2022 \times 2021 \times 2020 \] Rút gọn và nhóm các hạng tử liên quan đến x: \[ x \times (2021 \times 2020 \times 2019 + 2022 \times 2020 \times 2019) + (2021 \times 2020 \times 2019 + 2 \times 2022 \times 2020 \times 2019) = x \times (2022 \times 2021 \times 2019 + 2022 \times 2021 \times 2020) + (3 \times 2022 \times 2021 \times 2019 + 4 \times 2022 \times 2021 \times 2020) \] Phân tích và rút gọn: \[ x \times (2021 \times 2020 \times 2019 + 2022 \times 2020 \times 2019 - 2022 \times 2021 \times 2019 - 2022 \times 2021 \times 2020) = 3 \times 2022 \times 2021 \times 2019 + 4 \times 2022 \times 2021 \times 2020 - 2021 \times 2020 \times 2019 - 2 \times 2022 \times 2020 \times 2019 \] Ta thấy rằng: \[ 2021 \times 2020 \times 2019 + 2022 \times 2020 \times 2019 - 2022 \times 2021 \times 2019 - 2022 \times 2021 \times 2020 = 0 \] Do đó: \[ 0 = 3 \times 2022 \times 2021 \times 2019 + 4 \times 2022 \times 2021 \times 2020 - 2021 \times 2020 \times 2019 - 2 \times 2022 \times 2020 \times 2019 \] Từ đây ta thấy rằng phương trình này không phụ thuộc vào x, do đó x có thể là bất kỳ số nào. Tuy nhiên, để đơn giản, ta chọn x = 0. Vậy x = 0. b) Ta có: \[ n + 7 \text{ chia hết cho } 2n + 2 \] Điều này có nghĩa là: \[ n + 7 = k(2n + 2) \quad \text{với } k \text{ là số nguyên} \] Rearrange the equation: \[ n + 7 = 2kn + 2k \] \[ n - 2kn = 2k - 7 \] \[ n(1 - 2k) = 2k - 7 \] Để n là số tự nhiên, 1 - 2k phải là ước của 2k - 7. Ta thử các giá trị của k: - Nếu k = 1: \[ n(1 - 2 \times 1) = 2 \times 1 - 7 \] \[ n(-1) = -5 \] \[ n = 5 \] - Nếu k = 2: \[ n(1 - 2 \times 2) = 2 \times 2 - 7 \] \[ n(-3) = -3 \] \[ n = 1 \] - Nếu k = 3: \[ n(1 - 2 \times 3) = 2 \times 3 - 7 \] \[ n(-5) = -1 \] \[ n = \frac{1}{5} \quad (\text{không phải số tự nhiên}) \] Vậy các giá trị của n là 5 và 1. Đáp số: a) x = 0 b) n = 1 hoặc n = 5 Câu 3. Để chứng minh rằng \( M < \frac{1}{2} \), ta sẽ sử dụng phương pháp nhân cả hai vế với một hằng số để tạo ra một biểu thức mới dễ dàng so sánh. Bước 1: Nhân cả hai vế của \( M \) với 3: \[ 3M = 3 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{2023}} + \frac{1}{3^{2024}} \right) \] \[ 3M = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{2022}} + \frac{1}{3^{2023}} \] Bước 2: Lấy \( 3M \) trừ đi \( M \): \[ 3M - M = \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{2022}} + \frac{1}{3^{2023}} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{2023}} + \frac{1}{3^{2024}} \right) \] \[ 2M = 1 - \frac{1}{3^{2024}} \] Bước 3: Chia cả hai vế cho 2: \[ M = \frac{1 - \frac{1}{3^{2024}}}{2} \] Bước 4: Ta thấy rằng \( \frac{1}{3^{2024}} \) là một số rất nhỏ gần bằng 0, do đó: \[ 1 - \frac{1}{3^{2024}} < 1 \] \[ \frac{1 - \frac{1}{3^{2024}}}{2} < \frac{1}{2} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ M < \frac{1}{2} \] Câu 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (x-2)^2 + |y-x| + 3 \), chúng ta sẽ xét từng thành phần của biểu thức này. 1. Xét thành phần đầu tiên: \((x-2)^2\) - Biểu thức \((x-2)^2\) là bình phương của một số thực, do đó nó luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Giá trị nhỏ nhất của \((x-2)^2\) là 0, đạt được khi \(x = 2\). 2. Xét thành phần thứ hai: \(|y-x|\) - Biểu thức \(|y-x|\) là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa \(y\) và \(x\), do đó nó cũng luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Giá trị nhỏ nhất của \(|y-x|\) là 0, đạt được khi \(y = x\). 3. Xét thành phần cuối cùng: 3 - Đây là hằng số, không phụ thuộc vào \(x\) và \(y\). Bây giờ, chúng ta kết hợp các thành phần lại để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\): \[ P = (x-2)^2 + |y-x| + 3 \] Giá trị nhỏ nhất của \((x-2)^2\) là 0, đạt được khi \(x = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(|y-x|\) là 0, đạt được khi \(y = x\). Do đó, khi \(x = 2\) và \(y = 2\), ta có: \[ P = (2-2)^2 + |2-2| + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là 3, đạt được khi \(x = 2\) và \(y = 2\). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 3, đạt được khi \(x = 2\) và \(y = 2\). Câu 5. a) Ta có K là trung điểm của BC và KA = KD nên AKD là đường trung tuyến của tam giác BCD hạ từ đỉnh D. Do đó, ta có: \[ BK = KC \quad \text{và} \quad AK = KD \] Từ đó suy ra: \[ \angle BAK = \angle KDC \quad \text{(góc nội so le trong)} \] Do đó: \[ CD // AB \] b) Ta có H là trung điểm của AC, do đó: \[ AH = HC \] Ta cũng biết rằng K là trung điểm của BC, do đó: \[ BK = KC \] Vì AKD là đường trung tuyến của tam giác BCD hạ từ đỉnh D, nên: \[ \angle BAK = \angle KDC \] Do đó: \[ \angle BAH = \angle DCH \] Vì CD // AB, nên: \[ \angle BAH = \angle DCH \] Vậy ta có: \[ \Delta ABH = \Delta CDH \quad (\text{cùng cạnh AH = HC và góc BAH = góc DCH}) \] c) Ta có: \[ \Delta ABH = \Delta CDH \] Do đó: \[ BH = DH \] Vì M là giao điểm của BH và AD, N là giao điểm của DH và BC, nên ta có: \[ \angle BMH = \angle DMH \quad \text{(góc đối đỉnh)} \] Vậy: \[ \Delta HMN \quad \text{là tam giác cân tại H} \] Đáp số: a) Chứng minh được \( CD // AB \) b) Chứng minh được \( \Delta ABH = \Delta CDH \) c) Chứng minh được \( \Delta HMN \) cân tại H.