chỉiiiiiiiiiiiiiiiii

Câu 3. a) Để hàm số xác định trên $(0;+\infty)$ thì: $2x + m \geq 0$ và $x + 1 > 0$ $2x + m \geq 0$ và $x > -1$ Vì $x > 0$, nên ta chỉ cần $2x + m \geq 0$. Do đó, $m \geq -2x$. Vì $x > 0$, nên $-2x < 0$. Do đó, $m \geq 0$. b) Để hàm số xác định trên $(0;+\infty)$ thì: $x - m \geq 0$ và $2x - m - 1 \geq 0$ $x \geq m$ và $2x \geq m + 1$ Vì $x > 0$, nên ta chỉ cần $m \leq x$ và $m + 1 \leq 2x$. Do đó, $m \leq x$ và $m \leq 2x - 1$. Vì $x > 0$, nên $m \leq 0$. c) Để hàm số xác định trên $(0;+\infty)$ thì: $2x + m \geq 0$ và $x^2 + 2x + m \geq 0$ $2x + m \geq 0$ và $x^2 + 2x + m \geq 0$ Vì $x > 0$, nên ta chỉ cần $m \geq -2x$ và $m \geq -x^2 - 2x$. Do đó, $m \geq 0$. d) Để hàm số xác định trên $(0;+\infty)$ thì: $2x - 3m + 4 \geq 0$ và $x + m - 1 \neq 0$ $2x \geq 3m - 4$ và $x \neq 1 - m$ Vì $x > 0$, nên ta chỉ cần $3m - 4 \leq 2x$ và $x \neq 1 - m$. Do đó, $m \leq \frac{2x + 4}{3}$ và $m \neq 1 - x$. Vì $x > 0$, nên $m \leq \frac{4}{3}$ và $m \neq 1$. e) Để hàm số xác định trên $(0;+\infty)$ thì: $x - 2m - 1 \geq 0$ và $x^2 - m \neq 0$ $x \geq 2m + 1$ và $x^2 \neq m$ Vì $x > 0$, nên ta chỉ cần $2m + 1 \leq x$ và $m \neq x^2$. Do đó, $m \leq \frac{x - 1}{2}$ và $m \neq x^2$. Vì $x > 0$, nên $m \leq -\frac{1}{2}$ và $m \neq 0$. f) Để hàm số xác định trên $(0;+\infty)$ thì: $x^2 + m \geq 0$ và $x^2 - 4x + m - 1 \geq 0$ $x^2 + m \geq 0$ và $x^2 - 4x + m - 1 \geq 0$ Vì $x > 0$, nên ta chỉ cần $m \geq -x^2$ và $m \geq 4x - x^2 + 1$. Do đó, $m \geq 0$ và $m \geq 4x - x^2 + 1$. Vì $x > 0$, nên $m \geq 1$. Đáp số: a) $m \geq 0$ b) $m \leq 0$ c) $m \geq 0$ d) $m \leq \frac{4}{3}$ và $m \neq 1$ e) $m \leq -\frac{1}{2}$ và $m \neq 0$ f) $m \geq 1$ Câu 4. a) Tìm tập xác định của các hàm số trên. - Hàm số \( f(x) \): - Khi \( x \geq 0 \), ta có \( f(x) = \frac{1}{x-1} \). Điều kiện xác định là \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). Vậy tập xác định là \( [0, 1) \cup (1, +\infty) \). - Khi \( x > 0 \), ta có \( f(x) = \sqrt{x+2} \). Điều kiện xác định là \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \). Vì \( x > 0 \), nên tập xác định là \( (0, +\infty) \). Tập xác định của \( f(x) \) là \( [0, 1) \cup (1, +\infty) \). - Hàm số \( g(x) \): - Khi \( x \leq 1 \), ta có \( g(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). Điều kiện xác định là \( x^2 + 1 \geq 0 \), luôn đúng với mọi \( x \). Vậy tập xác định là \( (-\infty, 1] \). - Khi \( x > 1 \), ta có \( g(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{2x-1} \). Điều kiện xác định là \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \) và \( 2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2} \). Vì \( x > 1 \), nên tập xác định là \( (1, +\infty) \). Tập xác định của \( g(x) \) là \( (-\infty, +\infty) \). b) Tính \( f(-1), f\left(\frac{1}{2}\right), f(\sqrt{2}), g(-1), g\left(\frac{1}{2}\right), g(\sqrt{2}) \). - \( f(-1) \): - \( -1 < 0 \), nên không thuộc tập xác định của \( f(x) \). Do đó, \( f(-1) \) không tồn tại. - \( f\left(\frac{1}{2}\right) \): - \( \frac{1}{2} \geq 0 \) và \( \frac{1}{2} \neq 1 \), nên thuộc tập xác định của \( f(x) \). - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2 \). - \( f(\sqrt{2}) \): - \( \sqrt{2} > 0 \), nên thuộc tập xác định của \( f(x) \). - \( f(\sqrt{2}) = \sqrt{\sqrt{2} + 2} \). - \( g(-1) \): - \( -1 \leq 1 \), nên thuộc tập xác định của \( g(x) \). - \( g(-1) = \sqrt{(-1)^2 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \). - \( g\left(\frac{1}{2}\right) \): - \( \frac{1}{2} \leq 1 \), nên thuộc tập xác định của \( g(x) \). - \( g\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \). - \( g(\sqrt{2}) \): - \( \sqrt{2} > 1 \), nên thuộc tập xác định của \( g(x) \). - \( g(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{2\sqrt{2} - 1} \). Đáp số: a) Tập xác định của \( f(x) \) là \( [0, 1) \cup (1, +\infty) \). Tập xác định của \( g(x) \) là \( (-\infty, +\infty) \). b) \( f(-1) \) không tồn tại, \( f\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \), \( f(\sqrt{2}) = \sqrt{\sqrt{2} + 2} \), \( g(-1) = \sqrt{2} \), \( g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \), \( g(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{2\sqrt{2} - 1} \). Câu 5. Để kiểm tra xem các điểm có thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}$ hay không, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. 1. Kiểm tra điểm $A(2; \frac{1}{2})$: Thay $x = 2$ vào hàm số: \[ y = \frac{2 - 1}{2(2)^2 - 3(2) + 1} = \frac{1}{8 - 6 + 1} = \frac{1}{3} \] Kết quả là $\frac{1}{3}$, không bằng $\frac{1}{2}$. Do đó, điểm $A$ không thuộc đồ thị. 2. Kiểm tra điểm $B(1; 0)$: Thay $x = 1$ vào hàm số: \[ y = \frac{1 - 1}{2(1)^2 - 3(1) + 1} = \frac{0}{2 - 3 + 1} = \frac{0}{0} \] Kết quả là dạng $\frac{0}{0}$, tức là không xác định. Do đó, điểm $B$ không thuộc đồ thị. 3. Kiểm tra điểm $C(0; -1)$: Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{0 - 1}{2(0)^2 - 3(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Kết quả là $-1$, bằng $-1$. Do đó, điểm $C$ thuộc đồ thị. 4. Kiểm tra điểm $D\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$: Thay $x = \frac{1}{2}$ vào hàm số: \[ y = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{0} \] Kết quả là dạng $\frac{-\frac{1}{2}}{0}$, tức là không xác định. Do đó, điểm $D$ không thuộc đồ thị. Kết luận: Chỉ có điểm $C(0; -1)$ thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}$. Câu 6. Để tìm miền giá trị của các hàm số, chúng ta sẽ xem xét từng hàm số cụ thể. Dưới đây là một ví dụ về cách tìm miền giá trị của một hàm số: Ví dụ: Tìm miền giá trị của hàm số \( y = \sin(x) \) 1. Xác định miền giá trị của hàm số: - Hàm số \( y = \sin(x) \) có miền giá trị là đoạn \([-1, 1]\). Điều này có nghĩa là giá trị của \( y \) luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1. 2. Lập luận từng bước: - Hàm số \( \sin(x) \) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \). - Giá trị của \( \sin(x) \) luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1 vì nó mô tả tọa độ y của điểm trên đường tròn đơn vị. - Do đó, miền giá trị của hàm số \( y = \sin(x) \) là đoạn \([-1, 1]\). Kết luận: Miền giá trị của hàm số \( y = \sin(x) \) là đoạn \([-1, 1]\). Ví dụ khác: Tìm miền giá trị của hàm số \( y = x^2 + 1 \) 1. Xác định miền giá trị của hàm số: - Hàm số \( y = x^2 + 1 \) là một hàm bậc hai, và nó luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 1 vì \( x^2 \geq 0 \) cho mọi giá trị của \( x \). 2. Lập luận từng bước: - Hàm số \( y = x^2 + 1 \) có dạng parabol mở lên với đỉnh tại điểm (0, 1). - Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là 1, đạt được khi \( x = 0 \). - Do đó, miền giá trị của hàm số \( y = x^2 + 1 \) là đoạn \([1, +\infty)\). Kết luận: Miền giá trị của hàm số \( y = x^2 + 1 \) là đoạn \([1, +\infty)\). Tổng kết: - Để tìm miền giá trị của các hàm số, chúng ta cần xem xét đặc điểm của hàm số và xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà hàm số có thể đạt được. - Miền giá trị của hàm số \( y = \sin(x) \) là đoạn \([-1, 1]\). - Miền giá trị của hàm số \( y = x^2 + 1 \) là đoạn \([1, +\infty)\). Chúng ta có thể áp dụng phương pháp tương tự để tìm miền giá trị của các hàm số khác.