chỉiiiiiiiiiiiiiiiii3

Câu 3. a) Để hàm số $y = \sqrt{2x + m} - \sqrt{x + 1}$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta cần: \[ 2x + m \geq 0 \quad \text{và} \quad x + 1 > 0 \] Do $x > 0$, nên $x + 1 > 0$ luôn đúng. Ta chỉ cần: \[ 2x + m \geq 0 \Rightarrow m \geq -2x \] Vì $x > 0$, nên $-2x < 0$. Do đó, $m$ phải lớn hơn hoặc bằng 0: \[ m \geq 0 \] b) Để hàm số $y = \sqrt{x - m} + 2\sqrt{2x - m - 1}$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta cần: \[ x - m \geq 0 \quad \text{và} \quad 2x - m - 1 \geq 0 \] \[ x \geq m \quad \text{và} \quad 2x \geq m + 1 \Rightarrow x \geq \frac{m + 1}{2} \] Vì $x > 0$, ta cần: \[ m \leq 0 \quad \text{và} \quad \frac{m + 1}{2} \leq 0 \Rightarrow m \leq -1 \] c) Để hàm số $y = \sqrt{2x + m} + \sqrt{x^2 + 2x + m}$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta cần: \[ 2x + m \geq 0 \quad \text{và} \quad x^2 + 2x + m \geq 0 \] \[ m \geq -2x \quad \text{và} \quad m \geq -x^2 - 2x \] Vì $x > 0$, nên $-2x < 0$ và $-x^2 - 2x < 0$. Do đó, $m$ phải lớn hơn hoặc bằng 0: \[ m \geq 0 \] d) Để hàm số $y = \sqrt{2x - 3m + 4} + \frac{x - m}{x + m - 1}$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta cần: \[ 2x - 3m + 4 \geq 0 \quad \text{và} \quad x + m - 1 \neq 0 \] \[ 2x \geq 3m - 4 \Rightarrow x \geq \frac{3m - 4}{2} \quad \text{và} \quad x \neq 1 - m \] Vì $x > 0$, ta cần: \[ \frac{3m - 4}{2} \leq 0 \Rightarrow m \leq \frac{4}{3} \quad \text{và} \quad 1 - m > 0 \Rightarrow m < 1 \] Do đó, $m$ phải thỏa mãn: \[ m \leq \frac{4}{3} \quad \text{và} \quad m < 1 \Rightarrow m < 1 \] e) Để hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 2m - 1}}{x^2 - m}$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta cần: \[ x - 2m - 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x^2 - m \neq 0 \] \[ x \geq 2m + 1 \quad \text{và} \quad x^2 \neq m \] Vì $x > 0$, ta cần: \[ 2m + 1 \leq 0 \Rightarrow m \leq -\frac{1}{2} \quad \text{và} \quad m > 0 \] Do đó, không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn cả hai điều kiện này. f) Để hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + m}}{\sqrt{x^2 - 4x + m - 1} + 1}$ xác định trên $(0; +\infty)$, ta cần: \[ x^2 + m \geq 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 4x + m - 1 \geq 0 \] \[ m \geq -x^2 \quad \text{và} \quad x^2 - 4x + m - 1 \geq 0 \] Vì $x > 0$, nên $-x^2 < 0$. Do đó, $m$ phải lớn hơn hoặc bằng 0: \[ m \geq 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 4x + m - 1 \geq 0 \] \[ m \geq 4x - x^2 + 1 \] Vì $x > 0$, ta cần: \[ m \geq 4x - x^2 + 1 \] Do đó, $m$ phải lớn hơn hoặc bằng 1: \[ m \geq 1 \] Đáp số: a) $m \geq 0$ b) $m \leq -1$ c) $m \geq 0$ d) $m < 1$ e) Không có giá trị nào của $m$ f) $m \geq 1$ Câu 4. a) Tìm tập xác định của các hàm số trên. - Hàm số \( f(x) \): - Khi \( x \geq 0 \), ta có \( f(x) = \frac{1}{x-1} \). Điều kiện xác định là \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). Vậy tập xác định là \( [0, 1) \cup (1, +\infty) \). - Khi \( x > 0 \), ta có \( f(x) = \sqrt{x+2} \). Điều kiện xác định là \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \). Vì \( x > 0 \), nên tập xác định là \( (0, +\infty) \). Tập xác định của \( f(x) \) là \( [0, 1) \cup (1, +\infty) \). - Hàm số \( g(x) \): - Khi \( x \leq 1 \), ta có \( g(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). Điều kiện xác định là \( x^2 + 1 \geq 0 \), luôn đúng với mọi \( x \). Vậy tập xác định là \( (-\infty, 1] \). - Khi \( x > 1 \), ta có \( g(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{2x-1} \). Điều kiện xác định là \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \) và \( 2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2} \). Vì \( x > 1 \), nên tập xác định là \( (1, +\infty) \). Tập xác định của \( g(x) \) là \( (-\infty, +\infty) \). b) Tính \( f(-1), f\left(\frac{1}{2}\right), f(\sqrt{2}), g(-1), g\left(\frac{1}{2}\right), g(\sqrt{2}) \). - \( f(-1) \): - \( -1 < 0 \), nên không thuộc tập xác định của \( f(x) \). Do đó, \( f(-1) \) không tồn tại. - \( f\left(\frac{1}{2}\right) \): - \( \frac{1}{2} \geq 0 \) và \( \frac{1}{2} \neq 1 \), nên thuộc tập xác định của \( f(x) \). - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2 \). - \( f(\sqrt{2}) \): - \( \sqrt{2} > 0 \), nên thuộc tập xác định của \( f(x) \). - \( f(\sqrt{2}) = \sqrt{\sqrt{2} + 2} \). - \( g(-1) \): - \( -1 \leq 1 \), nên thuộc tập xác định của \( g(x) \). - \( g(-1) = \sqrt{(-1)^2 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \). - \( g\left(\frac{1}{2}\right) \): - \( \frac{1}{2} \leq 1 \), nên thuộc tập xác định của \( g(x) \). - \( g\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \). - \( g(\sqrt{2}) \): - \( \sqrt{2} > 1 \), nên thuộc tập xác định của \( g(x) \). - \( g(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{2\sqrt{2} - 1} \). Đáp số: a) Tập xác định của \( f(x) \) là \( [0, 1) \cup (1, +\infty) \). Tập xác định của \( g(x) \) là \( (-\infty, +\infty) \). b) \( f(-1) \) không tồn tại, \( f\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \), \( f(\sqrt{2}) = \sqrt{\sqrt{2} + 2} \), \( g(-1) = \sqrt{2} \), \( g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \), \( g(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{2\sqrt{2} - 1} \). Câu 5. Để kiểm tra xem các điểm có thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}$ hay không, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình của hàm số hay không. 1. Kiểm tra điểm $A(2; \frac{1}{2})$: Thay $x = 2$ vào hàm số: \[ y = \frac{2 - 1}{2(2)^2 - 3(2) + 1} = \frac{1}{8 - 6 + 1} = \frac{1}{3} \] Kết quả là $\frac{1}{3}$, không bằng $\frac{1}{2}$. Do đó, điểm $A$ không thuộc đồ thị của hàm số. 2. Kiểm tra điểm $B(1; 0)$: Thay $x = 1$ vào hàm số: \[ y = \frac{1 - 1}{2(1)^2 - 3(1) + 1} = \frac{0}{2 - 3 + 1} = \frac{0}{0} \] Kết quả là dạng $\frac{0}{0}$, tức là không xác định. Do đó, điểm $B$ không thuộc đồ thị của hàm số. 3. Kiểm tra điểm $C(0; -1)$: Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{0 - 1}{2(0)^2 - 3(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Kết quả là $-1$, bằng $-1$. Do đó, điểm $C$ thuộc đồ thị của hàm số. 4. Kiểm tra điểm $D\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$: Thay $x = \frac{1}{2}$ vào hàm số: \[ y = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{0} \] Kết quả là dạng $\frac{-\frac{1}{2}}{0}$, tức là không xác định. Do đó, điểm $D$ không thuộc đồ thị của hàm số. Kết luận: Chỉ có điểm $C(0; -1)$ thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}$. Câu 6. Để tìm miền giá trị của các hàm số, chúng ta cần xem xét các giá trị mà hàm số có thể nhận được. Dưới đây là các bước chi tiết để tìm miền giá trị của các hàm số: 1. Hàm số \( y = \sin x \) - Bước 1: Xác định miền giá trị của hàm số \( y = \sin x \). - Bước 2: Biết rằng hàm số \( \sin x \) có giá trị nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là: \[ -1 \leq \sin x \leq 1 \] - Kết luận: Miền giá trị của hàm số \( y = \sin x \) là: \[ [-1, 1] \] 2. Hàm số \( y = \cos x \) - Bước 1: Xác định miền giá trị của hàm số \( y = \cos x \). - Bước 2: Biết rằng hàm số \( \cos x \) có giá trị nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là: \[ -1 \leq \cos x \leq 1 \] - Kết luận: Miền giá trị của hàm số \( y = \cos x \) là: \[ [-1, 1] \] 3. Hàm số \( y = \tan x \) - Bước 1: Xác định miền giá trị của hàm số \( y = \tan x \). - Bước 2: Biết rằng hàm số \( \tan x \) có thể nhận mọi giá trị thực ngoại trừ những điểm mà \( \cos x = 0 \). Tuy nhiên, không có giới hạn cụ thể về giá trị của \( \tan x \), nó có thể là bất kỳ giá trị thực nào. - Kết luận: Miền giá trị của hàm số \( y = \tan x \) là: \[ (-\infty, +\infty) \] 4. Hàm số \( y = \cot x \) - Bước 1: Xác định miền giá trị của hàm số \( y = \cot x \). - Bước 2: Biết rằng hàm số \( \cot x \) có thể nhận mọi giá trị thực ngoại trừ những điểm mà \( \sin x = 0 \). Tuy nhiên, không có giới hạn cụ thể về giá trị của \( \cot x \), nó có thể là bất kỳ giá trị thực nào. - Kết luận: Miền giá trị của hàm số \( y = \cot x \) là: \[ (-\infty, +\infty) \] Tổng kết - Miền giá trị của hàm số \( y = \sin x \) là \([-1, 1]\). - Miền giá trị của hàm số \( y = \cos x \) là \([-1, 1]\). - Miền giá trị của hàm số \( y = \tan x \) là \((-∞, +∞)\). - Miền giá trị của hàm số \( y = \cot x \) là \((-∞, +∞)\). Như vậy, chúng ta đã tìm được miền giá trị của các hàm số theo yêu cầu đề bài.