Giúp mình ve Câu 5: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào,dưới đây? $y^\prime=\frac{-1}{(2x+1)^2}0$

Question

Giúp mình ve Câu 5: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào,dưới đây? $y^\prime=\frac{-1}{(2x+1)^2}<0$,

,$A.~y=\frac{1-x}{2x+1}.$ $B.~y=\frac{x+1}{2x+1}.$,$C.~y=\frac{x-1}{2x+1}.$ $D.~y=\frac{x-1}{2x-1}.$,$y^\prime=\frac3{(2x+1)^2}>0$

Accepted Answer

Câu 5:
Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị không.

1. Kiểm tra các giới hạn vô cực:
   - Hàm số $ y = \frac{1-x}{2x+1} $:
     $$
     \lim_{x \to \infty} \frac{1-x}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}
     $$
     $$
     \lim_{x \to -\infty} \frac{1-x}{2x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x+1}{2x+1} $:
     $$
     \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}
     $$
     $$
     \lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{2x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x-1}{2x+1} $:
     $$
     \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}
     $$
     $$
     \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{2x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x-1}{2x-1} $:
     $$
     \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}
     $$
     $$
     \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{2x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}
     $$

2. Kiểm tra các giao điểm với trục hoành (y = 0):
   - Hàm số $ y = \frac{1-x}{2x+1} $:
     $$
     \frac{1-x}{2x+1} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x+1}{2x+1} $:
     $$
     \frac{x+1}{2x+1} = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x-1}{2x+1} $:
     $$
     \frac{x-1}{2x+1} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x-1}{2x-1} $:
     $$
     \frac{x-1}{2x-1} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1
     $$

3. Kiểm tra các giao điểm với trục tung (x = 0):
   - Hàm số $ y = \frac{1-x}{2x+1} $:
     $$
     y = \frac{1-0}{2(0)+1} = 1
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x+1}{2x+1} $:
     $$
     y = \frac{0+1}{2(0)+1} = 1
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x-1}{2x+1} $:
     $$
     y = \frac{0-1}{2(0)+1} = -1
     $$

- Hàm số $ y = \frac{x-1}{2x-1} $:
     $$
     y = \frac{0-1}{2(0)-1} = 1
     $$

Từ các kiểm tra trên, chúng ta thấy rằng đồ thị của hàm số $ y = \frac{x-1}{2x+1} $ có các đặc điểm phù hợp với đồ thị trong hình vẽ:
- Giới hạn vô cực là $\frac{1}{2}$
- Giao điểm với trục hoành tại $x = 1$
- Giao điểm với trục tung tại $y = -1$

Vậy đáp án đúng là:
C. $ y = \frac{x-1}{2x+1} $