Toán 12 kntt

Câu 28. Để tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao hạ từ D xuống (SAB): - Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. - Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật, nên AB ⊥ AD. - Do đó, AB ⊥ (SAD) (vì AB ⊥ SA và AB ⊥ AD). 2. Tìm giao điểm của đường thẳng qua D vuông góc với (SAB): - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống (SAB). - Ta có DH ⊥ (SAB) và do đó khoảng cách từ D đến (SAB) chính là độ dài đoạn thẳng DH. 3. Tính diện tích tam giác SAD: - Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD$. 4. Tính diện tích tam giác SAB: - Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times SA \times AB$. 5. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích khối chóp S.ABD là $\frac{1}{3} \times S_{ABD} \times SA$. - Thể tích khối chóp S.ABD cũng có thể tính theo hai cách khác nhau: - $\frac{1}{3} \times S_{SAD} \times BH$ - $\frac{1}{3} \times S_{SAB} \times DH$ 6. Tính khoảng cách DH: - Từ hai cách tính thể tích trên, ta có: \[ \frac{1}{3} \times S_{SAD} \times BH = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times DH \] - Điều này dẫn đến: \[ S_{SAD} \times BH = S_{SAB} \times DH \] - Do đó: \[ DH = \frac{S_{SAD} \times BH}{S_{SAB}} \] 7. Thay các giá trị cụ thể vào công thức: - Giả sử SA = a, AD = b, AB = c. - Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times a \times b$. - Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times a \times c$. - Khoảng cách từ D đến (SAB) là: \[ DH = \frac{\left(\frac{1}{2} \times a \times b\right) \times c}{\frac{1}{2} \times a \times c} = b \] Do đó, khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) là b. Đáp án: C. 3a. Câu 29. Để tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (SDC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = DA \times DC = 2a \times 8a = 16a^2 \] - Thể tích hình chóp S.ABCD là: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SD = \frac{1}{3} \times 16a^2 \times SD \] 2. Tìm diện tích tam giác SDC: - Diện tích tam giác SDC là: \[ S_{SDC} = \frac{1}{2} \times DC \times SD = \frac{1}{2} \times 8a \times SD = 4a \times SD \] 3. Tìm thể tích hình chóp S.PDC: - Vì SP = 4PB, nên SB được chia thành 5 phần bằng nhau, trong đó SP chiếm 4 phần và PB chiếm 1 phần. - Thể tích hình chóp S.PDC là: \[ V_{S.PDC} = \frac{4}{5} \times V_{S.BDC} \] - Thể tích hình chóp S.BDC là: \[ V_{S.BDC} = \frac{1}{3} \times S_{BDC} \times SD = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times BC \times DC\right) \times SD = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 2a \times 8a\right) \times SD = \frac{1}{3} \times 8a^2 \times SD \] - Vậy: \[ V_{S.PDC} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{3} \times 8a^2 \times SD = \frac{32}{15}a^2 \times SD \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (SDC): - Gọi khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (SDC) là h. - Thể tích hình chóp S.PDC cũng có thể được tính bằng: \[ V_{S.PDC} = \frac{1}{3} \times S_{SDC} \times h = \frac{1}{3} \times 4a \times SD \times h \] - Đặt hai biểu thức thể tích bằng nhau: \[ \frac{32}{15}a^2 \times SD = \frac{1}{3} \times 4a \times SD \times h \] - Giải phương trình để tìm h: \[ \frac{32}{15}a^2 = \frac{4}{3}a \times h \] \[ \frac{32}{15}a = \frac{4}{3}h \] \[ h = \frac{32}{15}a \times \frac{3}{4} = \frac{32}{15}a \times \frac{3}{4} = \frac{32 \times 3}{15 \times 4}a = \frac{96}{60}a = \frac{8}{5}a \] Vậy khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (SDC) là $\frac{8}{5}a$. Đáp án đúng là D. $\frac{8}{5}a$. Câu 30. Câu hỏi 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và chiều cao bằng 6. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. $V=\frac{75}{2}\sqrt{3}.$ B. $V=\frac{25}{2}\sqrt{3}.$ C. $V=\frac{75}{4}\sqrt{3}.$ D. $V=25\sqrt{3}.$ Lời giải: - Diện tích đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh 5: \[ S_{đáy} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \] - Thể tích của khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times 6 = \frac{25\sqrt{3}}{2} \] Đáp án đúng là: B. $V=\frac{25}{2}\sqrt{3}.$ Câu hỏi 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 7a, $SA\bot(ABC).$ Góc giữa cạnh SC và đáy bằng $60^0.$ Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. $V=\frac{1029}{4}a^3.$ B. $V=\frac{343}{8}a^3.$ C. $V=\frac{343}{4}a^3.$ D. $V=\frac{1029}{8}a^3.$ Lời giải: - Diện tích đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh 7a: \[ S_{đáy} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (7a)^2 = \frac{49\sqrt{3}}{4}a^2 \] - Chiều cao SA của hình chóp: \[ \tan(60^0) = \frac{SA}{\frac{7a}{2}} \Rightarrow SA = \frac{7a}{2} \times \sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{2}a \] - Thể tích của khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{49\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{7\sqrt{3}}{2}a = \frac{343}{8}a^3 \] Đáp án đúng là: B. $V=\frac{343}{8}a^3.$ Câu hỏi 3: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và chiều cao bằng 3. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. $V=\frac{25}{2}\sqrt{3}.$ B. $V=\frac{25}{4}\sqrt{3}.$ C. $V=\frac{75}{4}\sqrt{3}.$ D. $V=\frac{75}{8}\sqrt{3}.$ Lời giải: - Diện tích đáy của hình lăng trụ là tam giác đều cạnh 5: \[ S_{đáy} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \] - Thể tích của khối lăng trụ: \[ V = S_{đáy} \times h = \frac{25\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{75\sqrt{3}}{4} \] Đáp án đúng là: C. $V=\frac{75}{4}\sqrt{3}.$ Câu hỏi 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A , $AB=10a,~AC=7a,~AA^\prime=3a.$ Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. $V=105a^3.$ B. $V=35a^3.$ C. $V=210a^3.$ D. $V=\frac{105}{2}a^3.$ Lời giải: - Diện tích đáy của hình lăng trụ là tam giác vuông tại A: \[ S_{đáy} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 10a \times 7a = 35a^2 \] - Thể tích của khối lăng trụ: \[ V = S_{đáy} \times AA' = 35a^2 \times 3a = 105a^3 \] Đáp án đúng là: A. $V=105a^3.$ Câu hỏi 5: Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết $P(A)=0,1$ và $P(B)=0,39.$ Tính xác suất của biến cố AB (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 0,351. B. 0,039. C. 0,549. D. 0,061. Lời giải: - Xác suất của biến cố AB: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) = 0,1 \times 0,39 = 0,039 \] Đáp án đúng là: B. 0,039.