giúpppppppppppppppppppppppppppppppppppp

Bài 20: Áp dụng công thức Viète cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, ta có: - Tổng của hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ - Tích của hai nghiệm: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ Trong phương trình $4x^2 - 5x - 3 = 0$, ta có $a = 4$, $b = -5$, và $c = -3$. Do đó: - $S = x_1 + x_2 = -\frac{-5}{4} = \frac{5}{4}$ - $P = x_1 x_2 = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$ Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức $F = (x_1 + 1)(x_2 + 1) - (x_1 - x_2)^2$. Ta mở rộng biểu thức $(x_1 + 1)(x_2 + 1)$: $(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1$ Biểu thức $(x_1 - x_2)^2$ có thể viết lại thành: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$ Do đó, ta có: \[ F = (x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1) - ((x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ F = \left( -\frac{3}{4} + \frac{5}{4} + 1 \right) - \left( \left( \frac{5}{4} \right)^2 - 4 \left( -\frac{3}{4} \right) \right) \] Tính từng phần: \[ -\frac{3}{4} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] \[ \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16} \] \[ 4 \left( -\frac{3}{4} \right) = -3 \] \[ \left( \frac{5}{4} \right)^2 - 4 \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{25}{16} + 3 = \frac{25}{16} + \frac{48}{16} = \frac{73}{16} \] Cuối cùng: \[ F = \frac{3}{2} - \frac{73}{16} = \frac{24}{16} - \frac{73}{16} = -\frac{49}{16} \] Vậy giá trị của biểu thức $F$ là $-\frac{49}{16}$. Bài 21: Để tính giá trị của biểu thức \( H = x_1^2 + x_2^2 - 5x_1 - 5x_2 \) mà không cần giải phương trình, ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình đã cho là: \[ 2x^2 - 6x + 3 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{2} = 3 \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} \] Bây giờ, ta sẽ biến đổi biểu thức \( H \): \[ H = x_1^2 + x_2^2 - 5x_1 - 5x_2 \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 9 - 3 = 6 \] Do đó: \[ H = 6 - 5(x_1 + x_2) \] \[ H = 6 - 5 \cdot 3 \] \[ H = 6 - 15 \] \[ H = -9 \] Vậy giá trị của biểu thức \( H \) là: \[ \boxed{-9} \] Bài 22: Để tính giá trị của biểu thức \( Q = (x_1 + 3x_2)(x_2 + 3x_1) \), ta sẽ sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình. Phương trình \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) có hai nghiệm là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] \[ x_1 x_2 = -\frac{3}{2} \] Bây giờ, ta sẽ mở rộng biểu thức \( Q \): \[ Q = (x_1 + 3x_2)(x_2 + 3x_1) \] \[ Q = x_1 x_2 + 3x_1^2 + 3x_2^2 + 9x_1 x_2 \] \[ Q = 10x_1 x_2 + 3(x_1^2 + x_2^2) \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left( -\frac{5}{2} \right)^2 - 2 \left( -\frac{3}{2} \right) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{4} + 3 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{37}{4} \] Tiếp theo, thay vào biểu thức \( Q \): \[ Q = 10 \left( -\frac{3}{2} \right) + 3 \left( \frac{37}{4} \right) \] \[ Q = -15 + \frac{111}{4} \] \[ Q = -\frac{60}{4} + \frac{111}{4} \] \[ Q = \frac{51}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( Q \) là: \[ Q = \frac{51}{4} \] Bài 23: Để tính giá trị của biểu thức \( T = (x_1 - x_2)^2 \) mà không cần giải phương trình, ta sẽ sử dụng các hệ số của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \). Phương trình đã cho là: \[ 3x^2 - 4x - 2 = 0 \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( b = -4 \) - \( c = -2 \) Theo công thức Viète, tổng và tích của các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình của chúng ta: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3} \] \[ x_1 x_2 = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} \] Biểu thức \( T = (x_1 - x_2)^2 \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ T = (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 \] Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức trên: \[ T = \left( \frac{4}{3} \right)^2 - 4 \left( -\frac{2}{3} \right) \] \[ T = \frac{16}{9} + \frac{8}{3} \] Chuyển \(\frac{8}{3}\) về cùng mẫu số với \(\frac{16}{9}\): \[ \frac{8}{3} = \frac{24}{9} \] Do đó: \[ T = \frac{16}{9} + \frac{24}{9} = \frac{40}{9} \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ T = \frac{40}{9} \] Bài 24: Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình $2x^2-13x-4=0$, ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{13}{2} \] \[ x_1 \cdot x_2 = -2 \] Biểu thức $G$ được viết lại như sau: \[ G = (x_1 + x_2)(x_1 + 2x_2) - x_2^2 \] Ta sẽ mở ngoặc và nhóm các hạng tử: \[ G = x_1(x_1 + 2x_2) + x_2(x_1 + 2x_2) - x_2^2 \] \[ G = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2x_1 + 2x_2^2 - x_2^2 \] \[ G = x_1^2 + 3x_1x_2 + x_2^2 \] Thay các giá trị từ hệ thức Vi-et vào biểu thức trên: \[ G = x_1^2 + 3(-2) + x_2^2 \] \[ G = x_1^2 + x_2^2 - 6 \] Ta biết rằng: \[ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \] Do đó: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{13}{2} \right)^2 - 2(-2) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{169}{4} + 4 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{169}{4} + \frac{16}{4} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{185}{4} \] Vậy: \[ G = \frac{185}{4} - 6 \] \[ G = \frac{185}{4} - \frac{24}{4} \] \[ G = \frac{161}{4} \] Đáp số: $\frac{161}{4}$ Bài 25: Để tính giá trị của biểu thức \( K = \frac{x_1 - 1}{x_2 + 1} + \frac{x_2 - 1}{x_1 + 1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình \( x^2 - 3x - 2 = 0 \): - Tổng của hai nghiệm: \( x_1 + x_2 = 3 \) - Tích của hai nghiệm: \( x_1 \cdot x_2 = -2 \) Bước 2: Nhân tử chung ở mẫu số: \[ K = \frac{(x_1 - 1)(x_1 + 1) + (x_2 - 1)(x_2 + 1)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ K = \frac{x_1^2 - 1 + x_2^2 - 1}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] \[ K = \frac{x_1^2 + x_2^2 - 2}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] Bước 4: Ta biết rằng \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \): \[ x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2(-2) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 9 + 4 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 13 \] Bước 5: Thay vào biểu thức: \[ K = \frac{13 - 2}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] \[ K = \frac{11}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] Bước 6: Ta biết rằng \( (x_2 + 1)(x_1 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 \): \[ (x_2 + 1)(x_1 + 1) = -2 + 3 + 1 \] \[ (x_2 + 1)(x_1 + 1) = 2 \] Bước 7: Thay vào biểu thức: \[ K = \frac{11}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( K \) là: \[ K = \frac{11}{2} \]