VẼ CẢ HÌNH NHÉ CÁC BẠN ƠI ! Cho tam giác ABC , trực tâm H . Gọi M là trung điểm của BC , N là trung điểm của AC . Đường vuông góc với BC tại M vad đường vuông góc với AC tại N cắt nhua tại O. a ) Trên...

a) Ta có \(O\) là giao điểm của đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(BC\) và đường vuông góc hạ từ \(N\) xuống \(AC\). Do đó, \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(AMC\). - Vì \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(AMC\), nên \(OA = OM = OC\). - Trên tia đối của tia \(OC\) lấy điểm \(K\) sao cho \(OK = OC\). Suy ra \(OK = OC\). - Xét tam giác \(AOC\) và tam giác \(AOK\): - \(OA\) chung. - \(OC = OK\). - \(\angle AOC = \angle AOK\) (vì \(K\) nằm trên tia đối của tia \(OC\)). Do đó, tam giác \(AOC\) bằng tam giác \(AOK\) (cạnh - góc - cạnh). Suy ra \(AC = AK\). - Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(AH \perp BC\) và \(BH \perp AC\). - Xét tam giác \(AHB\) và tam giác \(AKB\): - \(AH = AK\) (chứng minh trên). - \(BH = BK\) (vì \(H\) là trực tâm và \(K\) đối xứng với \(C\) qua \(O\)). - \(\angle AHB = \angle AKB\) (góc giữa hai đường thẳng). Do đó, tam giác \(AHB\) bằng tam giác \(AKB\) (cạnh - góc - cạnh). Suy ra \(AB = AB\) (chung). Vậy \(AHBK\) là hình bình hành (hai cặp cạnh đối bằng nhau). b) Ta đã biết \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(AMC\), do đó \(OM\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMC\). - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\). - Xét tam giác \(AHB\) và tam giác \(AMC\): - \(AH \perp BC\) và \(AM \perp BC\) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\)). - \(BM = MC\) (chung). Do đó, tam giác \(AHB\) bằng tam giác \(AMC\) (cạnh - góc - cạnh). Suy ra \(AH = AM\). - Vì \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(AMC\), nên \(OM = \frac{1}{2} AM\). Suy ra \(OM = \frac{1}{2} AH\). Đáp số: \(OM = \frac{1}{2} AH\).