Ggghhghhhg

Ví dụ 1 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-2y=1\\3x+2y=3\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: 1. Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến $y$: \[ (x - 2y) + (3x + 2y) = 1 + 3 \] \[ x + 3x - 2y + 2y = 4 \] \[ 4x = 4 \] 2. Giải phương trình $4x = 4$ để tìm giá trị của $x$: \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] 3. Thay giá trị $x = 1$ vào phương trình đầu tiên để tìm giá trị của $y$: \[ 1 - 2y = 1 \] \[ -2y = 1 - 1 \] \[ -2y = 0 \] \[ y = \frac{0}{-2} \] \[ y = 0 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, 0)$. Đáp số: $(1, 0)$. Ví dụ 2 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-y=3\\3x-4y=2\end{array}\right.$ và tìm tích $x^2.y$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x; y)$. Bước 2: Tính tích $x^2.y$ dựa trên nghiệm đã tìm được. Bước 1: Giải hệ phương trình Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 3 \\ 3x - 4y = 2 \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ x = y + 3 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 3(y + 3) - 4y = 2 \] \[ 3y + 9 - 4y = 2 \] \[ -y + 9 = 2 \] \[ -y = 2 - 9 \] \[ -y = -7 \] \[ y = 7 \] Thay $y = 7$ vào phương trình $x = y + 3$: \[ x = 7 + 3 \] \[ x = 10 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (10; 7)$. Bước 2: Tính tích $x^2.y$ Tích $x^2.y$ là: \[ x^2.y = 10^2 \times 7 = 100 \times 7 = 700 \] Đáp số: $700$. Ví dụ 3 Điều kiện xác định: \( x \neq -1, x \neq 3 \) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x+1)(y-1) = xy - 1 \\ (x-3)(y-3) = xy - 3 \end{array} \right. \] Mở ngoặc và rút gọn từng phương trình: 1. \((x+1)(y-1) = xy - 1\) \[ xy - x + y - 1 = xy - 1 \] \[ -x + y = 0 \quad \text{hay} \quad y = x \] 2. \((x-3)(y-3) = xy - 3\) \[ xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3 \] \[ -3x - 3y + 9 = -3 \] \[ -3x - 3y = -12 \] \[ x + y = 4 \] Thay \( y = x \) vào phương trình \( x + y = 4 \): \[ x + x = 4 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Do đó, \( y = 2 \). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (x, y) = (2, 2) \). Đáp số: Hệ phương trình có 1 nghiệm. Ví dụ 4 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng hệ số của x và y ở hai phương trình không tỉ lệ với nhau. Điều này có nghĩa là: \[ m \neq 1 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình để tìm x và y. Nhân phương trình (1) với m: \[ mx + m^2y = m(m + 1) \quad (3) \] Nhân phương trình (2) với 1: \[ mx + y = 3m - 1 \quad (4) \] Lấy phương trình (3) trừ phương trình (4): \[ m^2y - y = m(m + 1) - (3m - 1) \] \[ (m^2 - 1)y = m^2 + m - 3m + 1 \] \[ (m^2 - 1)y = m^2 - 2m + 1 \] \[ (m^2 - 1)y = (m - 1)^2 \] Do \( m \neq 1 \), ta có thể chia cả hai vế cho \( m^2 - 1 \): \[ y = \frac{(m - 1)^2}{m^2 - 1} \] \[ y = \frac{(m - 1)^2}{(m - 1)(m + 1)} \] \[ y = \frac{m - 1}{m + 1} \] Để y là số nguyên, \( \frac{m - 1}{m + 1} \) phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( m - 1 \) chia hết cho \( m + 1 \). Ta xét các trường hợp: 1. \( m - 1 = k(m + 1) \) với k là số nguyên. 2. \( m - 1 = k(m + 1) \) 3. \( m - 1 = km + k \) 4. \( m - km = k + 1 \) 5. \( m(1 - k) = k + 1 \) Để \( m \) là số nguyên, \( 1 - k \) phải là ước của \( k + 1 \). Ta xét các trường hợp: - Nếu \( k = 0 \), ta có \( m = 1 \) (loại vì \( m \neq 1 \)). - Nếu \( k = -1 \), ta có \( m = 0 \). Vậy \( m = 0 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện. Thay \( m = 0 \) vào hệ phương trình ban đầu: \[ \left\{\begin{array}lx + 0 \cdot y = 0 + 1 \\ 0 \cdot x + y = 3 \cdot 0 - 1 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}lx = 1 \\ y = -1 \end{array}\right. \] Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). Đáp số: \( m = 0 \) Ví dụ 5 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x+y)^2 + y = 3 \\ 2(x^2 + y^2 + xy) + x = 5\end{array}\right.$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Không có phân thức hay căn thức nên không cần xác định ĐKXĐ. Bước 2: Giải phương trình đầu tiên để tìm y theo x - Từ phương trình $(x+y)^2 + y = 3$, ta có: \[ (x+y)^2 + y = 3 \] \[ (x+y)^2 = 3 - y \] Bước 3: Thay vào phương trình thứ hai - Phương trình thứ hai là: \[ 2(x^2 + y^2 + xy) + x = 5 \] - Ta thay $(x+y)^2 = 3 - y$ vào phương trình này: \[ 2((x+y)^2 - xy) + x = 5 \] \[ 2(3 - y - xy) + x = 5 \] \[ 6 - 2y - 2xy + x = 5 \] \[ x - 2xy - 2y + 1 = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của hệ phương trình - Ta thử các giá trị x và y để tìm nghiệm của hệ phương trình: - Thử x = 1: \[ 1 - 2y - 2y + 1 = 0 \] \[ 2 - 4y = 0 \] \[ y = \frac{1}{2} \] Thay lại vào phương trình đầu tiên: \[ (1 + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[ (\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[ \frac{9}{4} + \frac{1}{2} = 3 \] \[ \frac{9}{4} + \frac{2}{4} = 3 \] \[ \frac{11}{4} \neq 3 \] Vậy x = 1 không thỏa mãn. - Thử x = 2: \[ 2 - 4y - 2y + 1 = 0 \] \[ 3 - 6y = 0 \] \[ y = \frac{1}{2} \] Thay lại vào phương trình đầu tiên: \[ (2 + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[ (\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[ \frac{25}{4} + \frac{1}{2} = 3 \] \[ \frac{25}{4} + \frac{2}{4} = 3 \] \[ \frac{27}{4} \neq 3 \] Vậy x = 2 không thỏa mãn. - Thử x = 0: \[ 0 - 0 - 2y + 1 = 0 \] \[ 1 - 2y = 0 \] \[ y = \frac{1}{2} \] Thay lại vào phương trình đầu tiên: \[ (0 + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[ (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 3 \] \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 3 \] \[ \frac{3}{4} \neq 3 \] Vậy x = 0 không thỏa mãn. - Thử x = -1: \[ -1 + 2y - 2y + 1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Thay lại vào phương trình đầu tiên: \[ (-1 + y)^2 + y = 3 \] \[ (y - 1)^2 + y = 3 \] \[ y^2 - 2y + 1 + y = 3 \] \[ y^2 - y + 1 = 3 \] \[ y^2 - y - 2 = 0 \] \[ (y - 2)(y + 1) = 0 \] Vậy y = 2 hoặc y = -1. - Nếu y = 2: \[ x = -1 \] Thay lại vào phương trình đầu tiên: \[ (-1 + 2)^2 + 2 = 3 \] \[ 1 + 2 = 3 \] \[ 3 = 3 \] Vậy (-1, 2) là nghiệm của hệ phương trình. - Nếu y = -1: \[ x = -1 \] Thay lại vào phương trình đầu tiên: \[ (-1 - 1)^2 - 1 = 3 \] \[ 4 - 1 = 3 \] \[ 3 = 3 \] Vậy (-1, -1) là nghiệm của hệ phương trình. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (-1, 2) và (-1, -1). Ví dụ 6 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l\frac3{2x+y}+\frac2{x-2y}=\frac58\\\frac4{2x+y}-\frac3{x-2y}=-\frac38\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn phụ: Gọi $a = 2x + y$ và $b = x - 2y$. Hệ phương trình trở thành: \[ \left\{\begin{array}l \frac{3}{a} + \frac{2}{b} = \frac{5}{8} \\ \frac{4}{a} - \frac{3}{b} = -\frac{3}{8} \end{array}\right. \] 2. Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với 8 để loại bỏ mẫu số: \[ \left\{\begin{array}l 8 \cdot \frac{3}{a} + 8 \cdot \frac{2}{b} = 8 \cdot \frac{5}{8} \\ 8 \cdot \frac{4}{a} - 8 \cdot \frac{3}{b} = 8 \cdot -\frac{3}{8} \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}l \frac{24}{a} + \frac{16}{b} = 5 \\ \frac{32}{a} - \frac{24}{b} = -3 \end{array}\right. \] 3. Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 3 và phương trình thứ hai với 2 để chuẩn bị cho phép trừ: \[ \left\{\begin{array}l 3 \cdot \left( \frac{24}{a} + \frac{16}{b} \right) = 3 \cdot 5 \\ 2 \cdot \left( \frac{32}{a} - \frac{24}{b} \right) = 2 \cdot -3 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}l \frac{72}{a} + \frac{48}{b} = 15 \\ \frac{64}{a} - \frac{48}{b} = -6 \end{array}\right. \] 4. Cộng hai phương trình lại để loại bỏ $\frac{48}{b}$: \[ \frac{72}{a} + \frac{48}{b} + \frac{64}{a} - \frac{48}{b} = 15 - 6 \] \[ \frac{136}{a} = 9 \] \[ a = \frac{136}{9} \] 5. Thay giá trị của $a$ vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm $b$: Thay vào phương trình $\frac{24}{a} + \frac{16}{b} = 5$: \[ \frac{24}{\frac{136}{9}} + \frac{16}{b} = 5 \] \[ \frac{24 \cdot 9}{136} + \frac{16}{b} = 5 \] \[ \frac{216}{136} + \frac{16}{b} = 5 \] \[ \frac{27}{17} + \frac{16}{b} = 5 \] \[ \frac{16}{b} = 5 - \frac{27}{17} \] \[ \frac{16}{b} = \frac{85 - 27}{17} \] \[ \frac{16}{b} = \frac{58}{17} \] \[ b = \frac{16 \cdot 17}{58} \] \[ b = \frac{272}{58} \] \[ b = \frac{136}{29} \] 6. Quay lại với các ẩn ban đầu: Ta có $a = 2x + y = \frac{136}{9}$ và $b = x - 2y = \frac{136}{29}$. 7. Giải hệ phương trình này: \[ \left\{\begin{array}l 2x + y = \frac{136}{9} \\ x - 2y = \frac{136}{29} \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ \left\{\begin{array}l 2x + y = \frac{136}{9} \\ 2x - 4y = \frac{272}{29} \end{array}\right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (2x + y) - (2x - 4y) = \frac{136}{9} - \frac{272}{29} \] \[ 5y = \frac{136 \cdot 29 - 272 \cdot 9}{9 \cdot 29} \] \[ 5y = \frac{3944 - 2448}{261} \] \[ 5y = \frac{1496}{261} \] \[ y = \frac{1496}{1305} \] Thay $y$ vào phương trình $2x + y = \frac{136}{9}$: \[ 2x + \frac{1496}{1305} = \frac{136}{9} \] \[ 2x = \frac{136}{9} - \frac{1496}{1305} \] \[ 2x = \frac{136 \cdot 1305 - 1496 \cdot 9}{9 \cdot 1305} \] \[ 2x = \frac{177480 - 13464}{11745} \] \[ 2x = \frac{164016}{11745} \] \[ x = \frac{164016}{23490} \] \[ x = \frac{82008}{11745} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left( \frac{82008}{11745}, \frac{1496}{1305} \right)$. Ví dụ 7 Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \). Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng cộng trừ với phương trình thứ hai: \[ \left\{\begin{array}{l} 2 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 2 \cdot 3 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -1 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 6 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -1 \end{array}\right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ \(\frac{2}{y}\): \[ \left( \frac{2}{x} + \frac{2}{y} \right) + \left( \frac{3}{x} - \frac{2}{y} \right) = 6 + (-1) \] \[ \frac{2}{x} + \frac{3}{x} = 5 \] \[ \frac{5}{x} = 5 \] Bước 3: Giải phương trình \(\frac{5}{x} = 5\): \[ x = 1 \] Bước 4: Thay \( x = 1 \) vào phương trình đầu tiên để tìm \( y \): \[ \frac{1}{1} + \frac{1}{y} = 3 \] \[ 1 + \frac{1}{y} = 3 \] \[ \frac{1}{y} = 2 \] \[ y = \frac{1}{2} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, \frac{1}{2}) \). Đáp số: \( (1, \frac{1}{2}) \). Ví dụ 8 Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \). Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = \frac{1}{4} \\ \frac{5}{6x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \end{array} \right. \] Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 3 để đơn giản hóa: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 6 để đơn giản hóa: \[ \frac{5}{x} + \frac{6}{y} = 4 \] Bây giờ ta có hệ mới: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ \frac{5}{x} + \frac{6}{y} = 4 \end{array} \right. \] Gọi \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \). Hệ phương trình trở thành: \[ \left\{ \begin{array}{l} a + b = \frac{3}{4} \\ 5a + 6b = 4 \end{array} \right. \] Nhân phương trình đầu tiên với 5: \[ 5a + 5b = \frac{15}{4} \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình này: \[ (5a + 6b) - (5a + 5b) = 4 - \frac{15}{4} \] \[ b = 4 - \frac{15}{4} = \frac{16}{4} - \frac{15}{4} = \frac{1}{4} \] Thay \( b = \frac{1}{4} \) vào phương trình \( a + b = \frac{3}{4} \): \[ a + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ a = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2 \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = 4 \] Tính \( x - 3y \): \[ x - 3y = 2 - 3 \times 4 = 2 - 12 = -10 \] Đáp số: \( x - 3y = -10 \). Ví dụ 9 a) Ta có: \[ \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \] Từ đây ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ x = \frac{2}{3}y \] Thay \( x = \frac{2}{3}y \) vào phương trình thứ hai: \[ \frac{2}{3}y + y - 1 = 0 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{2y + 3y}{3} - 1 = 0 \] \[ \frac{5y}{3} - 1 = 0 \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 5y - 3 = 0 \] \[ 5y = 3 \] \[ y = \frac{3}{5} \] Thay \( y = \frac{3}{5} \) vào \( x = \frac{2}{3}y \): \[ x = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left( \frac{2}{5}, \frac{3}{5} \right) \] b) Ta có: \[ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \] \[ \frac{x + y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \] Đầu tiên, giải phương trình đầu tiên để tìm \( x \): \[ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \] \[ 3x + 4y = 0 \] \[ 3x = -4y \] \[ x = -\frac{4}{3}y \] Thay \( x = -\frac{4}{3}y \) vào phương trình thứ hai: \[ \frac{-\frac{4}{3}y + y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{-\frac{4}{3}y + \frac{3}{3}y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \] \[ \frac{-\frac{1}{3}y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \] \[ \frac{-y}{6} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{-y - 4y}{6} = \frac{5}{2} \] \[ \frac{-5y}{6} = \frac{5}{2} \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ -5y = 15 \] \[ y = -3 \] Thay \( y = -3 \) vào \( x = -\frac{4}{3}y \): \[ x = -\frac{4}{3} \times (-3) = 4 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (4, -3) \] Ví dụ 10 a) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 8x - 2y = 10 \\ -4x + y = 3 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ nhất: \[ \left\{ \begin{array}{l} 8x - 2y = 10 \\ -8x + 2y = 6 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (8x - 2y) + (-8x + 2y) = 10 + 6 \] \[ 0 = 16 \] Phương trình này vô lý, do đó hệ phương trình vô nghiệm. b) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 2 \\ 2x - 4y = 4 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y = 4 \\ 2x - 4y = 4 \end{array} \right. \] Hai phương trình giống nhau, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình là tất cả các cặp số $(x, y)$ thỏa mãn phương trình $x - 2y = 2$. Ví dụ 11 Để giải quyết yêu cầu của bạn, tôi sẽ giải một hệ phương trình mẫu theo đúng quy tắc đã đưa ra. Câu hỏi: Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases} \] Câu trả lời: Để giải hệ phương trình này, ta thực hiện các bước sau: 1. Cộng hai phương trình lại với nhau: \[ (x + y) + (x - y) = 10 + 2 \] \[ 2x = 12 \] \[ x = 6 \] 2. Thay giá trị của \( x \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \): Ta thay \( x = 6 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 6 + y = 10 \] \[ y = 4 \] 3. Kiểm tra lại: Thay \( x = 6 \) và \( y = 4 \) vào phương trình thứ hai: \[ 6 - 4 = 2 \] Đúng! Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 6 \) và \( y = 4 \). Đáp số: \( x = 6 \), \( y = 4 \).