Giúp em câu 7 vs ạ Câu 7: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2=6$ và $u_3=18.$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:,a) Công bội của cấp sô nhân là $q=3.$,$b)~u_{k-1}+u_{k+1}=u^2_k,2\leq k\in\mathbb N^*.$,c) Số hạng đầu của cấp số nhân là $u_1=1$,d) Tổng 10 số hạng đầu tiên của câp số nhân đã cho $S_{10}=59048.$

Question

Accepted Answer

Câu 7:
Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho về cấp số nhân $(u_n)$ với $u_2 = 6$ và $u_3 = 18$.

Khẳng định a: Công bội của cấp số nhân là $q = 3$.

Công bội của cấp số nhân được tính bằng cách chia số hạng thứ hai cho số hạng thứ nhất:
$$ q = \frac{u_3}{u_2} = \frac{18}{6} = 3 $$

Vậy khẳng định a là đúng.

Khẳng định b: $u_{k-1} + u_{k+1} = u_k^2$, với $2 \leq k \in \mathbb{N}^$.

Ta xét công thức tổng quát của cấp số nhân:
$$ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} $$

Với $u_1 = 2$ (sẽ chứng minh ở khẳng định c) và $q = 3$, ta có:
$$ u_{k-1} = 2 \cdot 3^{k-2} $$
$$ u_k = 2 \cdot 3^{k-1} $$
$$ u_{k+1} = 2 \cdot 3^k $$

Bây giờ, ta kiểm tra xem liệu $u_{k-1} + u_{k+1}$ có bằng $u_k^2$ hay không:
$$ u_{k-1} + u_{k+1} = 2 \cdot 3^{k-2} + 2 \cdot 3^k $$
$$ = 2 \cdot 3^{k-2} (1 + 3^2) $$
$$ = 2 \cdot 3^{k-2} \cdot 10 $$

Mặt khác:
$$ u_k^2 = (2 \cdot 3^{k-1})^2 $$
$$ = 4 \cdot 3^{2(k-1)} $$
$$ = 4 \cdot 3^{2k-2} $$

Như vậy, $u_{k-1} + u_{k+1} \neq u_k^2$. Vậy khẳng định b là sai.

Khẳng định c: Số hạng đầu của cấp số nhân là $u_1 = 1$.

Ta biết rằng:
$$ u_2 = u_1 \cdot q $$
$$ 6 = u_1 \cdot 3 $$
$$ u_1 = \frac{6}{3} = 2 $$

Vậy khẳng định c là sai vì $u_1 = 2$, không phải 1.

Khẳng định d: Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $S_{10} = 59048$.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức:
$$ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ S_{10} = 2 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} $$
$$ = 2 \cdot \frac{59049 - 1}{2} $$
$$ = 2 \cdot \frac{59048}{2} $$
$$ = 59048 $$

Vậy khẳng định d là đúng.

Kết luận:
- Khẳng định a: Đúng
- Khẳng định b: Sai
- Khẳng định c: Sai
- Khẳng định d: Đúng