Giúp mình với! Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thổ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng từ có ,con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngầu nhiên ra một con thỏ. Xét hai,A: "Bắt được con thỏ trắng từ chuồng 1";,B: "Bắt được con thỏ đen từ chuồng il".,Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng hai biến cố A và B là độc lập, ta cần kiểm tra điều kiện xác suất của biến cố A và B xảy ra cùng nhau bằng tích xác suất của chúng.

1. Tính xác suất của biến cố A:
   - Số lượng thỏ trong chuồng I: 5 con thỏ đen + 10 con thỏ trắng = 15 con thỏ.
   - Xác suất bắt được con thỏ trắng từ chuồng I:
     $$
     P(A) = \frac{\text{số thỏ trắng trong chuồng I}}{\text{tổng số thỏ trong chuồng I}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
     $$

2. Tính xác suất của biến cố B:
   - Số lượng thỏ trong chuồng II: 7 con thỏ đen + 10 con thỏ trắng = 17 con thỏ.
   - Xác suất bắt được con thỏ đen từ chuồng II:
     $$
     P(B) = \frac{\text{số thỏ đen trong chuồng II}}{\text{tổng số thỏ trong chuồng II}} = \frac{7}{17}
     $$

3. Tính xác suất của biến cố A và B xảy ra cùng nhau:
   - Xác suất bắt được con thỏ trắng từ chuồng I và con thỏ đen từ chuồng II:
     $$
     P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{7}{17} = \frac{14}{51}
     $$

4. Kiểm tra điều kiện độc lập:
   - Hai biến cố A và B được coi là độc lập nếu:
     $$
     P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
     $$
   - Ta đã tính được:
     $$
     P(A \cap B) = \frac{14}{51}
     $$
     $$
     P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{7}{17} = \frac{14}{51}
     $$

Như vậy, ta thấy rằng $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Do đó, hai biến cố A và B là độc lập.

Kết luận: Hai biến cố A và B là độc lập.