1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BC, điểm N thay đổi thuộc cạnh AC. Biết mặt phẳng (A'BN) luông cắt AC' và AM lần lượt tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của N để diện tích của tam giác APQ bằng
2/9 lần diện tích của tam giác AMC'.

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét điểm M thay đổi trên đoạn AB (M khác A và B), gọi (α) là mặt phẳng đi qua M, song song với hai đường thẳng SA và BD. Xác định vị trí của M để thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) có diện tích đạt giá trị lớn nhất.

3. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và CD sao cho AM = CN. Khi các vectơ →BC, →MN và →AD đồng phẳng, tính góc giữa 2 đường thẳng MN và BC.

Question

1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BC, điểm N thay đổi thuộc cạnh AC. Biết mặt phẳng (A'BN) luông cắt AC' và AM lần lượt tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của N để diện tích của tam giác APQ bằng 
2/9 lần diện tích của tam giác AMC'.

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét điểm M thay đổi trên đoạn AB (M khác A và B), gọi (α) là mặt phẳng đi qua M, song song với hai đường thẳng SA và BD. Xác định vị trí của M để thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) có diện tích đạt giá trị lớn nhất.

3. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và CD sao cho AM = CN. Khi các vectơ →BC, →MN và →AD đồng phẳng, tính góc giữa 2 đường thẳng MN và BC.

Accepted Answer

{"userId":5330040,"userName":"Nhân Irving"}

1.

Gọi $AC = x, AN = a$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCC'}$

$S_{AMC'} = \frac{1}{2} AM.AC'.sin{\widehat{AMC'}}$

Ta có: $\frac{AP}{AA'} . \frac{A'N}{NC'} . \frac{C'Q}{QP} = 1$

$\frac{AP}{AA'} = \frac{2/9}{S_{AMC'}}$

2.

Gọi $O$ là giao điểm $AC$ và $BD$

Gọi $I, J, K, L$ là các điểm trên $SB, SC, SD, SA$

Thiết diện là hình bình hành $MIJL$

Gọi $x = AM/AB$, ta có: $AM = x.AB$

$S_{MIJL} = \frac{1}{2} d_1 d_2 .sin{ heta}$

$d_1 = IM = x.SA$

$d_2 = IL$

Để $S_{MIJL}$ lớn nhất thì $M$ là trung điểm $AB$

3.

Ta có: $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$

$\overrightarrow{AD}$

$a\overrightarrow{BC} + b\overrightarrow{MN} + c\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}$

$cos(MN,BC)$

1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BC, điểm N thay đổi thuộc cạnh AC. Biết mặt phẳng (A'BN) luông cắt AC' và AM lần lượt tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của N để diện...