Giúp mik hướng dẫn giải thích ạ

Câu 64: Ta có $\int f(x)dx=-\cos x+C$. Để tìm $f(x)$, ta cần tính đạo hàm của $-\cos x + C$. Bước 1: Tính đạo hàm của $-\cos x + C$: \[ \frac{d}{dx}(-\cos x + C) = \frac{d}{dx}(-\cos x) + \frac{d}{dx}(C) \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của $\cos x$: \[ \frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x \] \[ \frac{d}{dx}(C) = 0 \] Bước 3: Kết hợp lại: \[ \frac{d}{dx}(-\cos x + C) = \sin x + 0 = \sin x \] Vậy $f(x) = \sin x$. Do đó, khẳng định đúng là: C. $f(x) = \sin x$. Câu 65: Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) = 3 - 5 \cos x \) và \( f(0) = 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f'(x) \): Ta có: \[ f'(x) = 3 - 5 \cos x \] Nguyên hàm của \( 3 \) là \( 3x \). Nguyên hàm của \( -5 \cos x \) là \( -5 \sin x \). Vậy: \[ f(x) = 3x - 5 \sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số. 2. Xác định hằng số \( C \): Ta biết rằng \( f(0) = 5 \). Thay \( x = 0 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(0) = 3 \cdot 0 - 5 \sin 0 + C = 5 \] \[ 0 - 0 + C = 5 \] \[ C = 5 \] 3. Viết phương trình của \( f(x) \): Thay \( C = 5 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \] Vậy mệnh đề đúng là: C. \( f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \) Đáp án: C. \( f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \) Câu 66: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = ax + \frac{b}{x^2} \) (với \( x \neq 0 \)), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \( a \) và \( b \) từ điều kiện \( f(1) = 0 \): \[ f(1) = a \cdot 1 + \frac{b}{1^2} = a + b = 0 \implies b = -a \] 2. Tìm nguyên hàm \( F(x) \): \[ f(x) = ax - \frac{a}{x^2} \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int \left(ax - \frac{a}{x^2}\right) dx = \int ax \, dx - \int \frac{a}{x^2} \, dx \] \[ F(x) = \frac{a}{2}x^2 + \frac{a}{x} + C \] 3. Áp dụng điều kiện \( F(-1) = 1 \) để tìm \( C \): \[ F(-1) = \frac{a}{2}(-1)^2 + \frac{a}{-1} + C = \frac{a}{2} - a + C = 1 \] \[ -\frac{a}{2} + C = 1 \implies C = 1 + \frac{a}{2} \] 4. Áp dụng điều kiện \( F(1) = 4 \) để tìm \( a \): \[ F(1) = \frac{a}{2}(1)^2 + \frac{a}{1} + C = \frac{a}{2} + a + C = 4 \] Thay \( C = 1 + \frac{a}{2} \) vào: \[ \frac{a}{2} + a + 1 + \frac{a}{2} = 4 \] \[ 2a + 1 = 4 \implies 2a = 3 \implies a = \frac{3}{2} \] 5. Tính \( C \): \[ C = 1 + \frac{\frac{3}{2}}{2} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \] 6. Viết lại \( F(x) \): \[ F(x) = \frac{\frac{3}{2}}{2}x^2 + \frac{\frac{3}{2}}{x} + \frac{7}{4} = \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4} \] Vậy, đáp án đúng là: A. \( F(x) = \frac{3x^2}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4} \). Câu 67: Để tìm giá trị của \( F\left(\frac{1}{2}\right) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( e^{2x} \): \[ F(x) = \int e^{2x} \, dx \] 2. Áp dụng phương pháp tích phân trực tiếp: \[ F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] với \( C \) là hằng số tích phân. 3. Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu \( F(0) = \frac{201}{2} \): \[ F(0) = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} + C = \frac{1}{2} + C \] \[ \frac{1}{2} + C = \frac{201}{2} \] \[ C = \frac{201}{2} - \frac{1}{2} = 100 \] 4. Viết lại nguyên hàm với hằng số \( C \) đã tìm được: \[ F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + 100 \] 5. Tính giá trị của \( F\left(\frac{1}{2}\right) \): \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{2 \cdot \frac{1}{2}} + 100 \] \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^1 + 100 \] \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e + 100 \] Vậy giá trị của \( F\left(\frac{1}{2}\right) \) là: \[ \boxed{\frac{1}{2} e + 100} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2} e + 100$. Câu 68: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \) thỏa mãn \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + \cos x \) là: \[ F(x) = -\cos x + \sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \). Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào \( F(x) \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C \] Biết rằng \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \) và \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \), ta có: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0 + 1 + C = 1 + C \] Theo đề bài, \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \), do đó: \[ 1 + C = 2 \] \[ C = 1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã xác định. \[ F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Vậy, đáp án đúng là: C. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) Đáp số: C. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) Câu 69: Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) = 2 - 5 \sin x \) và \( f(0) = 10 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f'(x) \): Ta có: \[ f'(x) = 2 - 5 \sin x \] Nguyên hàm của \( 2 \) là \( 2x \). Nguyên hàm của \( -5 \sin x \) là \( 5 \cos x \). Do đó, nguyên hàm của \( f'(x) \) là: \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + C \] trong đó \( C \) là hằng số. 2. Xác định hằng số \( C \): Ta biết rằng \( f(0) = 10 \). Thay \( x = 0 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(0) = 2 \cdot 0 + 5 \cos 0 + C = 10 \] Biết rằng \( \cos 0 = 1 \), ta có: \[ 0 + 5 \cdot 1 + C = 10 \] \[ 5 + C = 10 \] \[ C = 5 \] 3. Viết phương trình của \( f(x) \): Thay \( C = 5 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. \( f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \) Đáp án: C. \( f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \) Câu 70: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \). 2. Xác định giá trị của \( F(x) \) dựa trên điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = k \). 3. Tính tổng \( F(0) + F(\pi) + F(2\pi) + \ldots + F(10\pi) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \). Ta biết rằng: \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C \] Do đó, \( F(x) = \tan x + C \). Bước 2: Xác định giá trị của \( F(x) \) dựa trên điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = k \). Thay vào ta có: \[ F\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) + C = k \] Biết rằng \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = 1 \) (vì \( \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) và \( \tan \) có chu kỳ \( \pi \)), ta có: \[ 1 + C = k \] \[ C = k - 1 \] Vậy \( F(x) = \tan x + k - 1 \). Bước 3: Tính tổng \( F(0) + F(\pi) + F(2\pi) + \ldots + F(10\pi) \). Ta thấy rằng \( \tan(n\pi) = 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{Z} \). Do đó: \[ F(n\pi) = \tan(n\pi) + k - 1 = 0 + k - 1 = k - 1 \] Tổng cần tính là: \[ F(0) + F(\pi) + F(2\pi) + \ldots + F(10\pi) \] Với mỗi \( n \) từ 0 đến 10, ta có: \[ F(n\pi) = n - 1 \] Tổng này là: \[ (-1) + 0 + 1 + 2 + \ldots + 9 \] Đây là tổng của dãy số từ -1 đến 9, ta có thể tính bằng công thức tổng của dãy số: \[ S = \frac{(9 - (-1)) \times (9 - (-1) + 1)}{2} = \frac{10 \times 10}{2} = 50 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{45} \] Câu 71: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2^x \). 2. Xác định hằng số \( C \) từ điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). 3. Tính giá trị biểu thức \( T = F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(2019) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2^x \). Nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ F(x) = \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) từ điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{2^0}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} + C \] Theo điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \), ta có: \[ \frac{1}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} \] Suy ra: \[ C = 0 \] Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức \( T = F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(2019) \). Thay \( F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \) vào biểu thức \( T \): \[ T = F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(2019) \] \[ T = \frac{2^0}{\ln 2} + \frac{2^1}{\ln 2} + \frac{2^2}{\ln 2} + ... + \frac{2^{2019}}{\ln 2} \] \[ T = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{2019} \right) \] Dãy số \( 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{2019} \) là dãy số lũy thừa với công bội \( q = 2 \). Tổng của dãy số này là: \[ S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{2019} = \frac{2^{2020} - 1}{2 - 1} = 2^{2020} - 1 \] Do đó: \[ T = \frac{1}{\ln 2} \cdot (2^{2020} - 1) = \frac{2^{2020} - 1}{\ln 2} \] Vậy giá trị biểu thức \( T \) là: \[ T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln 2} \] Đáp án đúng là: A. \( T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln 2} \) Câu 72: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định $f(x)$ từ $F(x)$. 2. Tìm $\int f(2x) \, dx$. Bước 1: Xác định $f(x)$ từ $F(x)$. Biết rằng $F(x) = e^x + x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Do đó, ta có: \[ f(x) = F'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x^2) = e^x + 2x. \] Bước 2: Tìm $\int f(2x) \, dx$. Thay $2x$ vào $f(x)$, ta có: \[ f(2x) = e^{2x} + 2(2x) = e^{2x} + 4x. \] Bây giờ, ta cần tính tích phân của $f(2x)$: \[ \int f(2x) \, dx = \int (e^{2x} + 4x) \, dx. \] Tính từng phần: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1, \] \[ \int 4x \, dx = 2x^2 + C_2. \] Vậy: \[ \int (e^{2x} + 4x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + 2x^2 + C. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{2} e^{2x} + 2x^2 + C}. \] Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{2} e^{2x} + 2x^2 + C$. Câu 73: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định $f(x)$ từ $F(x)$. 2. Tìm $\int f(2x) \, dx$. Bước 1: Xác định $f(x)$ từ $F(x)$. Biết rằng $F(x) = e^x + 2x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Do đó, ta có: \[ f(x) = F'(x) \] Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + 2x^2) = e^x + 4x \] Vậy: \[ f(x) = e^x + 4x \] Bước 2: Tìm $\int f(2x) \, dx$. Thay $2x$ vào $f(x)$: \[ f(2x) = e^{2x} + 4(2x) = e^{2x} + 8x \] Bây giờ, ta cần tính tích phân của $f(2x)$: \[ \int f(2x) \, dx = \int (e^{2x} + 8x) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1 \] \[ \int 8x \, dx = 4x^2 + C_2 \] Gộp lại: \[ \int (e^{2x} + 8x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + 4x^2 + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{2} e^{2x} + 4x^2 + C} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2} e^{2x} + 4x^2 + C$. Câu 74: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin(3x) \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số dạng \( \sin(ax + b) \). Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = \sin(3x) \) có dạng \( \sin(ax) \) với \( a = 3 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của \( \sin(ax) \). Công thức nguyên hàm của \( \sin(ax) \) là: \[ \int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C \] Áp dụng vào hàm số \( f(x) = \sin(3x) \): \[ \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin(3x) \) là: \[ -\frac{1}{3} \cos(3x) + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( -\frac{1}{3} \cos(3x) + C \) Đáp số: D. \( -\frac{1}{3} \cos(3x) + C \) Câu 75: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2^x \). 2. Xác định hằng số \( C \) trong nguyên hàm \( F(x) \) dựa trên điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). 3. Tính giá trị biểu thức \( T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2^x \). Nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ F(x) = \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{2^0}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} + C \] Theo điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \), ta có: \[ \frac{1}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} \] Suy ra: \[ C = 0 \] Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức \( T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019) \). Biểu thức \( T \) trở thành: \[ T = \sum_{k=0}^{2019} F(k) = \sum_{k=0}^{2019} \frac{2^k}{\ln 2} \] Ta có thể tách hằng số \( \frac{1}{\ln 2} \) ra ngoài tổng: \[ T = \frac{1}{\ln 2} \sum_{k=0}^{2019} 2^k \] Tổng \( \sum_{k=0}^{2019} 2^k \) là tổng của dãy số lũy thừa cơ sở 2 từ 0 đến 2019. Đây là một dãy số lũy thừa công bội, và tổng của nó là: \[ \sum_{k=0}^{2019} 2^k = 2^{2020} - 1 \] Vậy: \[ T = \frac{1}{\ln 2} (2^{2020} - 1) \] Đáp số cuối cùng là: \[ T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln 2} \]