giúp em với ạ

BÀI 10. Bài tập tự luận về vectơ trong mặt phẳng tọa độ Bài 1: Cho hai điểm $$ và $$. Tìm tọa độ của vectơ $$. Giải: - Tọa độ của vectơ $$ được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm $$ trừ đi tọa độ của điểm $$: $$ Bài 2: Cho vectơ $$ và vectơ $$. Tìm tọa độ của vectơ $$. Giải: - Tọa độ của vectơ $$ được tính bằng cách cộng từng thành phần tương ứng của hai vectơ: $$ Bài 3: Cho vectơ $$ và vectơ $$. Tìm tọa độ của vectơ $$. Giải: - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ Bài 4: Cho hai điểm $$ và $$. Tìm tọa độ của điểm $$ sao cho $$. Giải: - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ - Tọa độ của điểm $$ là: $$ Bài 5: Cho ba điểm $$, $$, và $$. Chứng minh rằng ba điểm này thẳng hàng. Giải: - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ - Tọa độ của vectơ $$ là: $$ - Ta thấy rằng $$, tức là hai vectơ này cùng phương và cùng hướng. Do đó, ba điểm $$, $$, và $$ thẳng hàng. Bài 6: Cho hai vectơ $$ và $$. Tìm điều kiện để hai vectơ này vuông góc với nhau. Giải: - Hai vectơ $$ và $$ vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0: $$ - Vậy điều kiện để hai vectơ $$ và $$ vuông góc với nhau là: $$ Câu 1. Để tính độ dài đại số của các vectơ $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $$ có tọa độ là: $$ - Vectơ $$ có tọa độ là: $$ 2. Xác định độ dài đại số của các vectơ: - Độ dài đại số của vectơ $$ là: $$ - Độ dài đại số của vectơ $$ là: $$ 3. Xét hướng của các vectơ: - Vectơ $$ có tọa độ âm (-3), do đó nó hướng từ phải sang trái. - Vectơ $$ có tọa độ dương (5), do đó nó hướng từ trái sang phải. 4. Kết luận về hướng của các vectơ: - Vì vectơ $$ hướng từ phải sang trái và vectơ $$ hướng từ trái sang phải, nên hai vectơ này ngược hướng. Đáp số: - Độ dài đại số của vectơ $$ là 3. - Độ dài đại số của vectơ $$ là 5. - Hai vectơ $$ và $$ ngược hướng. Câu 2. a) Tìm tọa độ của các vectơ $$ - Vectơ $$, do đó tọa độ của $$ là $$. - Vectơ $$, do đó tọa độ của $$ là $$. - Vectơ $$, do đó tọa độ của $$ là $$. - Vectơ $$: $$ $$ $$ b) Phân tích vectơ $$ theo hai vectơ $$. Ta có: $$ $$ $$ Phân tích $$ theo $$ và $$: $$ $$ $$ So sánh các thành phần tương ứng: $$ $$ Vậy: $$ Câu 3. a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC là: $$ b) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta cần kiểm tra xem chúng có thẳng hàng hay không. Ta sẽ tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron hoặc bằng cách sử dụng tọa độ. Diện tích tam giác ABC: $$ $$ $$ $$ $$ Vì diện tích tam giác ABC khác 0, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác. c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $$ Đáp số: a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC là $$. b) Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. c) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $$. Câu 4. a) Tìm tọa độ điểm E sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng EB. Gọi tọa độ của điểm E là $$. Vì C là trung điểm của đoạn thẳng EB, ta có: $$ Từ đó ta có hai phương trình: $$ Giải phương trình đầu tiên: $$ Giải phương trình thứ hai: $$ Vậy tọa độ của điểm E là $$. b) Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Trong hình bình hành, các cặp đỉnh đối diện có tọa độ trung điểm trùng nhau. Do đó, ta có: $$ Thay tọa độ của A, B, và C vào: $$ Simplifying the left side: $$ Từ đó ta có hai phương trình: $$ Giải phương trình đầu tiên: $$ Giải phương trình thứ hai: $$ Vậy tọa độ của điểm D là $$. Đáp số: a) Tọa độ điểm E là $$. b) Tọa độ điểm D là $$. Câu 5. Để tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ $$: - Tọa độ của điểm A là (1, 3). - Tọa độ của điểm B là (4, 0). Ta có: $$ 2. Xác định tọa độ của vectơ $$: Giả sử tọa độ của điểm M là (x, y). Khi đó: $$ 3. Thay vào phương trình đã cho: $$ Thay tọa độ của $$ và $$: $$ Điều này tương đương với: $$ 4. Giải hệ phương trình: Ta có hai phương trình: $$ $$ Giải phương trình đầu tiên: $$ Giải phương trình thứ hai: $$ 5. Kết luận: Tọa độ của điểm M là (0, 4). Đáp số: $$. Câu 6. Để xác định các đỉnh còn lại của hình bình hành $$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của đỉnh $$ và $$: - Vì $$ là trung điểm của $$, ta có thể sử dụng tính chất trung điểm để tìm tọa độ của $$ và $$. 2. Tìm tọa độ của đỉnh $$ và $$: - Ta biết rằng trong hình bình hành, trung điểm của hai đường chéo trùng nhau. Do đó, trung điểm của $$ cũng là trung điểm của $$. 3. Tính trung điểm của $$: - Tọa độ trung điểm của $$ là: $$ 4. Tìm tọa độ của $$ và $$: - Gọi $$ và $$. Trung điểm của $$ cũng là $$: $$ - Từ đây ta có: $$ $$ 5. Tìm tọa độ của $$: - $$ là trung điểm của $$, nên tọa độ của $$ là: $$ - Biết rằng $$ có tọa độ $$, ta có: $$ $$ - Vậy tọa độ của $$ là $$. 6. Tìm tọa độ của $$: - Biết $$ và $$, ta có: $$ $$ - Vậy tọa độ của $$ là $$. Kết luận: Các đỉnh còn lại của hình bình hành $$ là $$ và $$. Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ đơn vị $$ là vectơ có độ dài bằng 1 và hướng theo trục Ox dương. Do đó, tọa độ của $$ là (1; 0). Vậy đáp án đúng là: C. $$ Câu 2: Để tìm tọa độ của vectơ $$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là $$ và tọa độ của điểm B là $$. Tọa độ của vectơ $$ được tính như sau: $$ $$ $$ Vậy tọa độ của vectơ $$ là $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 3: Để tìm tọa độ của vectơ $$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là $$ và tọa độ của điểm B là $$. Tọa độ của vectơ $$ được tính như sau: $$ $$ $$ $$ Vậy tọa độ của vectơ $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: C. $$. Câu 4: Để tìm vector $$, ta sử dụng công thức tính vector giữa hai điểm $$ và $$: $$ Áp dụng vào bài toán này với $$ và $$: $$ Do đó, đáp án đúng là: C. $$ Câu 5: Để tìm tọa độ của véctơ $$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là $$ và tọa độ của điểm B là $$. Tọa độ của véctơ $$ được tính như sau: $$ $$ $$ Vậy tọa độ của véctơ $$ là $$. Đáp án đúng là: B. $$. Câu 6: Để tìm tọa độ của vectơ $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $$: $$ Bước 2: Tính $$: $$ Bước 3: Cộng hai vectơ đã tính ở bước 1 và bước 2: $$ Vậy tọa độ của vectơ $$ là $$. Đáp án đúng là: A. $$. Câu 7: Để tìm tọa độ của vectơ $$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ $$ và $$. Tọa độ của vectơ $$ là $$ và tọa độ của vectơ $$ là $$. Ta có: $$ Thực hiện phép trừ từng thành phần: $$ $$ Vậy tọa độ của vectơ $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: A. $$. Câu 8: Để tìm tọa độ của véctơ $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ của véctơ $$. - Ta có $$. - Nhân véctơ $$ với 2: $$ Bước 2: Cộng tọa độ của véctơ $$ và véctơ $$. - Ta có $$. - Cộng tọa độ của $$ và $$: $$ Vậy tọa độ của véctơ $$ là $$. Đáp án đúng là: C. $$.