trắc nghiệm

Bài 41: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow5}\frac{2x^2+8x-10}{x+5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\frac{2x^2+8x-10}{x+5}$ có nghĩa khi $x + 5 \neq 0$, tức là $x \neq -5$. Bước 2: Thay trực tiếp giá trị $x = 5$ vào biểu thức để kiểm tra: - Ta thay $x = 5$ vào tử số và mẫu số: \[ 2(5)^2 + 8(5) - 10 = 2(25) + 40 - 10 = 50 + 40 - 10 = 80 \] \[ 5 + 5 = 10 \] Bước 3: Tính giới hạn: - Thay trực tiếp $x = 5$ vào biểu thức: \[ \lim_{x\rightarrow5}\frac{2x^2+8x-10}{x+5} = \frac{80}{10} = 8 \] Như vậy, giới hạn của biểu thức khi $x$ tiến đến 5 là 8. Đáp án đúng là: E. 8 Bài 43: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+4x}{x+1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $-\infty$, cả tử số và mẫu số đều tiến đến $-\infty$. Do đó, để dễ dàng hơn trong việc tính giới hạn, ta chia cả tử số và mẫu số cho $x$. 2. Chia cả tử số và mẫu số cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+4x}{x+1} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + 4}{1 + \frac{1}{x}} \] 3. Xét từng phần tử trong biểu thức: - Đối với $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$: \[ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} \] Vì $x \rightarrow -\infty$, nên $|x| = -x$. Do đó: \[ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} = -\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \] Khi $x \rightarrow -\infty$, $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$, nên: \[ -\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \rightarrow -\sqrt{1+0} = -1 \] - Đối với $\frac{1}{x}$: \[ \frac{1}{x} \rightarrow 0 \text{ khi } x \rightarrow -\infty \] 4. Thay vào biểu thức đã chia: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + 4}{1 + \frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-1 + 4}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \] Vậy, giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+4x}{x+1}$ bằng 3. Đáp án đúng là: D. 3. Bài 45: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}$ có mẫu số là $x^2 - 9$. Ta cần đảm bảo mẫu số khác 0: \[ x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ và } x \neq -3 \] - Vì giới hạn khi $x \to 2$, nên $x = 2$ nằm trong khoảng xác định. 2. Rút gọn phân thức: - Ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \] - Thay vào phân thức: \[ \frac{x^2-2x-3}{x^2-9} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} \] - Rút gọn phân thức (với điều kiện $x \neq 3$): \[ \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3} \] 3. Tính giới hạn: - Thay $x = 2$ vào biểu thức đã rút gọn: \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{x + 1}{x + 3} = \frac{2 + 1}{2 + 3} = \frac{3}{5} \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-2x-3}{x^2-9} = \frac{3}{5}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{3}{5}$. Bài 47: Để tính giới hạn $\lim_{x \to -\infty} \frac{-x-5}{x-10}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có bậc 1. Để dễ dàng hơn trong việc tính giới hạn, ta chia cả tử số và mẫu số cho biến số \( x \). 2. Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-x-5}{x-10} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{-x-5}{x}}{\frac{x-10}{x}} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{10}{x}} \] 4. Tính giới hạn từng phần: - Khi \( x \to -\infty \), \(\frac{5}{x} \to 0\) và \(\frac{10}{x} \to 0\). Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-1 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{10}{x}} = \frac{-1 - 0}{1 - 0} = \frac{-1}{1} = -1 \] Vậy, $\lim_{x \to -\infty} \frac{-x-5}{x-10} = -1$. Đáp án đúng là: C. -1. Bài 49: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng giới hạn một. A. $\lim_{x\rightarrow-1}\frac{3x-2}{x+1}=+\infty$ Khi $x \rightarrow -1$, mẫu số $x + 1 \rightarrow 0$. Ta xét dấu của tử số và mẫu số: - Tử số $3x - 2$ khi $x = -1$ thì $3(-1) - 2 = -5$. - Mẫu số $x + 1$ khi $x = -1$ thì $-1 + 1 = 0$. Do đó, khi $x$ tiến gần đến $-1$ từ bên trái ($x < -1$), mẫu số $x + 1$ sẽ âm và tử số $3x - 2$ cũng âm. Khi đó, phân thức $\frac{3x-2}{x+1}$ sẽ dương và tiến đến $+\infty$. B. $\lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2-x}+x)=+\infty$ Ta xét giới hạn: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2-x}+x) \] Nhân lượng liên hợp: \[ \sqrt{x^2-x} + x = \frac{(\sqrt{x^2-x} + x)(\sqrt{x^2-x} - x)}{\sqrt{x^2-x} - x} = \frac{x^2 - x - x^2}{\sqrt{x^2-x} - x} = \frac{-x}{\sqrt{x^2-x} - x} \] Khi $x \rightarrow -\infty$, ta có: \[ \sqrt{x^2-x} \approx |x| = -x \quad (\text{vì } x < 0) \] Do đó: \[ \frac{-x}{\sqrt{x^2-x} - x} \approx \frac{-x}{-x - x} = \frac{-x}{-2x} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2-x}+x) = -\frac{1}{2} \] C. $\lim_{x\rightarrow-1}\frac{3x-2}{x+1}=-\infty$ Khi $x \rightarrow -1$, mẫu số $x + 1 \rightarrow 0$. Ta xét dấu của tử số và mẫu số: - Tử số $3x - 2$ khi $x = -1$ thì $3(-1) - 2 = -5$. - Mẫu số $x + 1$ khi $x = -1$ thì $-1 + 1 = 0$. Do đó, khi $x$ tiến gần đến $-1$ từ bên phải ($x > -1$), mẫu số $x + 1$ sẽ dương và tử số $3x - 2$ âm. Khi đó, phân thức $\frac{3x-2}{x+1}$ sẽ âm và tiến đến $-\infty$. D. $\lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2-x}+x)=-\frac{3}{2}$ Ta đã tính ở trên: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2-x}+x) = -\frac{1}{2} \] Vậy mệnh đề D là sai vì giới hạn thực tế là $-\frac{1}{2}$ chứ không phải $-\frac{3}{2}$. Đáp án: D. Bài 51: Để tìm giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2, ta cần kiểm tra giới hạn từ bên trái và bên phải của điểm \( x = 2 \). 1. Giới hạn từ bên trái (\( x \to 2^- \)): - Khi \( x < 2 \), hàm số \( f(x) = x - 1 \). - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - 1) = 2 - 1 = 1 \] 2. Giới hạn từ bên phải (\( x \to 2^+ \)): - Khi \( x \geq 2 \), hàm số \( f(x) = x^2 - 3 \). - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 3) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \] 3. So sánh hai giới hạn: - Ta thấy rằng cả hai giới hạn từ bên trái và bên phải đều bằng 1: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 1 \] - Vì vậy, giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 tồn tại và bằng 1: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 1 \] Do đó, đáp án đúng là: D. 1 Bài 42: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+1}{x-2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của tử và mẫu khi \( x \rightarrow 1 \): - Tử số: \( x + 1 \rightarrow 1 + 1 = 2 \) - Mẫu số: \( x - 2 \rightarrow 1 - 2 = -1 \) 2. Tính giới hạn của phân thức: - Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x+1}{x-2} = \frac{\lim_{x\rightarrow1}(x+1)}{\lim_{x\rightarrow1}(x-2)} = \frac{2}{-1} = -2 \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+1}{x-2} = -2$. Đáp án đúng là: D. $-2$. Bài 44: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng khi $x \to -\infty$, cả tử số và mẫu số đều tiến đến vô cùng. Do đó, để dễ dàng hơn trong việc tính giới hạn, ta chia cả tử số và mẫu số cho $x$. 2. Chia cả tử số và mẫu số cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x^2})}}{x(1 - \frac{1}{x})} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{x(1 - \frac{1}{x})} \] Vì $x \to -\infty$, nên $|x| = -x$. Do đó: \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{x(1 - \frac{1}{x})} \] 4. Chia cả tử số và mẫu số cho $x$: \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{1 - \frac{1}{x}} \] 5. Tính giới hạn từng phần: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} = \sqrt{1 + 0} = 1 \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1 - 0 = 1 \] 6. Kết hợp lại: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{-1}{1} = -1 \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1} = -1$. Đáp án đúng là: C. -1. Bài 46: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2+2x+5}{5-2x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng cả tử và mẫu đều có bậc cao nhất là 2. Do đó, để dễ dàng hơn trong việc tính giới hạn, ta chia cả tử và mẫu cho $x^2$. 2. Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2+2x+5}{5-2x^2} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}{\frac{5}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2}} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}{\frac{5}{x^2} - 2} \] 4. Tính giới hạn từng phần: - Khi $x \rightarrow -\infty$, $\frac{2}{x} \rightarrow 0$ - Khi $x \rightarrow -\infty$, $\frac{5}{x^2} \rightarrow 0$ - Khi $x \rightarrow -\infty$, $\frac{5}{x^2} \rightarrow 0$ Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}{\frac{5}{x^2} - 2} = \frac{1 + 0 + 0}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2+2x+5}{5-2x^2} = -\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: C. $-\frac{1}{2}$ Bài 48: Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{6x-1}{1-3x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{6x-1}{1-3x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{6x-1}{x}}{\frac{1-3x}{x}} \] 2. Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - 3} \] 3. Tính giới hạn của các phân số khi \( x \rightarrow -\infty \): \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x} = 0 \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - 3} = \frac{6 - 0}{0 - 3} = \frac{6}{-3} = -2 \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{6x-1}{1-3x} = -2$. Đáp án đúng là: B. -2 Bài 50: A. $\lim_{x\rightarrow +\infty} (\sqrt{x^2+7} - x)$ Để tính giới hạn này, ta nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow +\infty} (\sqrt{x^2+7} - x) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{(\sqrt{x^2+7} - x)(\sqrt{x^2+7} + x)}{\sqrt{x^2+7} + x} \right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{x^2 + 7 - x^2}{\sqrt{x^2+7} + x} \right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{7}{\sqrt{x^2+7} + x} \right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{7}{x \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} + x} \right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{7}{x \left( \sqrt{1 + \frac{7}{x^2}} + 1 \right)} \right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{7}{x \cdot 2} \right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{7}{2x} \right) = 0 \] B. $\lim_{x\rightarrow -1} \frac{2x-2}{x+1}$ Ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $-1$, mẫu số $x+1$ tiến đến $0$. Ta có thể rút gọn phân thức: \[ \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2x-2}{x+1} = \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2(x-1)}{x+1} \] Khi $x$ tiến đến $-1$, ta thay vào: \[ \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2(-1-1)}{-1+1} = \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2(-2)}{0} = \text{không xác định} \] C. $\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x^2+3x+2}$ Ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $2$, tử số $x^2-4$ tiến đến $0$. Ta có thể rút gọn phân thức: \[ \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x^2+3x+2} = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x-2}{x+1} = \frac{2-2}{2+1} = \frac{0}{3} = 0 \] D. $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x+4}{2x+8}$ Ta thấy rằng khi $x$ tiến đến $1$, tử số $x+4$ tiến đến $5$ và mẫu số $2x+8$ tiến đến $10$. Ta có thể thay trực tiếp: \[ \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x+4}{2x+8} = \frac{1+4}{2 \cdot 1 + 8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] Kết luận: Giới hạn có kết quả bằng 0 là: C. $\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x^2+3x+2}$ Bài 52: Để hàm số \( f(x) \) có giới hạn khi \( x \to 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \] Tính \( \lim_{x \to 1^+} f(x) \): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + ax + 1) = 1^2 + a \cdot 1 + 1 = 2 + a \] Tính \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x^2 - x + 3a) = 2 \cdot 1^2 - 1 + 3a = 2 - 1 + 3a = 1 + 3a \] Để tồn tại giới hạn khi \( x \to 1 \), ta cần: \[ 2 + a = 1 + 3a \] Giải phương trình này: \[ 2 + a = 1 + 3a \] \[ 2 - 1 = 3a - a \] \[ 1 = 2a \] \[ a = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \( a \) để tồn tại giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \to 1 \) là \( a = \frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{1}{2} \)