Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x \geq 0, y \leq 0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x^2+2 x+2}+\frac{1}{y^2-2 y+2}+3 \sqrt{x^2+y^2-2 x y+4 x-4 y+8}$.

Ta có: $\frac{1}{x^2+2 x+2}+\frac{1}{y^2-2 y+2}=\frac{1}{1+(x+1)^2}+\frac{1}{1+(1-y)^2}$ x 2 + y 2 - 2 x y + 4 x - 4 y + 4 + 4 = ( x + 2 - y ) 2 + 4 = [ ( x + 1 ) + ( 1 - y ) ] 2 + 4 x^2+y^2-2 x y+4 x-4 y+4+4=(x+2-y)^2+4=[(x+1)+(1-y)]^2+4 Đặt $\left\{\begin{array}{l}a=x+1 \\ b=1-y\end{array}, \quad a b \geq 1\right.$ P = 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2 + 3 ( a + b ) 2 + 4 P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+3 \sqrt{(a+b)^2+4} CM được $: \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+a b} \quad, \quad \forall a b \geq 1$ Có : $a+b \geq 2 \sqrt{a b}$ nên: $P \geq \frac{2}{1+a b}+3 \sqrt{4 a b+4}$ Đặt : $t=\sqrt{1+a b} \geq \sqrt{2} \Rightarrow P \geq \frac{2}{t^2}+6 t, \quad \forall t \geq \sqrt{2}$ Gọi $f(t)=\frac{2}{t^2}+6 t, \quad \forall t \geq \sqrt{2}$ lim t → + ∞ f ( t ) = + ∞ \lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)=+\infty Vì $P>f(t)$ nên không tồn tại giá trị lớn nhất của P

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x \geq 0, y \leq 0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1

Hỏi đáp bài tập Newsfeed Giải bài tập SGK Cẩm nang học tập Ôn luyện

Công cụ

ADS

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn