Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang với
$A D \| B C, A B=B C=a, A D=2 a$. Tam giác $S A D$ vuông cân tại $S$ và $S B=a \sqrt{3}$.
a. Gọi $M$ là trung điểm của $S A$, chứng minh $B M / /(S C D)$.
b. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $B M$ và $C D$.
c. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $S C D, H$ là giao điểm của đường thẳng $B G$ và mặt phẳng $(S A C)$. Tính tỉ số $\frac{H B}{H G}$.

Question

Accepted Answer

\begin{equation}
ext { a) Gọi } \mathrm{N} ext { là trung điềm của } \mathrm{SD} ext {. Suy ra } \mathrm{MNCB} ext { là hình bình hành. }
\end{equation}

\begin{equation}
ext { Có }\left\{\begin{array}{l}
B M / / C N \
C N \subset(S C D) \Rightarrow B M / /(S C D) \
B M ot \subset(S C D)
\end{array} ight.
\end{equation}

b) Có $B M / / C N$ nên $(B M, C D)=(C N, C D)$.

Do $ riangle S A D$ vuông cân tại $S, A D=2 a$ nên $S A=S D=a \sqrt{2}$.
Tam giác $S A B$ có $S B^2=S A^2+A B^2$ nên vuông tại A .

$\Rightarrow B M^2=A B^2+A M^2=\frac{6 a^2}{4} \Rightarrow B M=\frac{a \sqrt{6}}{2} \Rightarrow C N=\frac{a \sqrt{6}}{2}$
Xét tam giác $C N D$ có $C N=\frac{a \sqrt{6}}{2} ; N D=\frac{a \sqrt{2}}{2} ; C D=a$

$\cos \widehat{N C D}=\frac{N C^2+C D^2-N D^2}{2 \cdot N C \cdot C D}=\frac{\sqrt{6}}{3}>0$
Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng $B M$ và $C D$ là $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

c) Xét hình thang ABCD , giả sử $B E \cap A D=I$. Do $E$ trung điểm của $C D$ nên $B C=D I \Rightarrow B C=\frac{1}{3} A I \Rightarrow B F=\frac{1}{3} F I=\frac{1}{4} B I=\frac{1}{2} B E$.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $B G E$ và đường thẳng $S F$ ta có

$\frac{B H}{H G} \cdot \frac{G S}{S E} \cdot \frac{E F}{F B}=1 \Rightarrow \frac{B H}{H G}=\frac{3}{2}$

Cho hình chóp có đáy là hình thang với . Tam giác vuông cân tại và . a. Gọi là trung điểm của , chứng minh...