trả lời đúng sai

Câu 17. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề (a): Đường thẳng IO song song với SA. - Ta xét hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành tâm O. - I là trung điểm của SC. - Ta cần kiểm tra xem IO có song song với SA hay không. Trong hình chóp S.ABCD, ta có: - O là tâm của đáy ABCD, do đó OA = OC và OB = OD. - I là trung điểm của SC, do đó SI = IC. Ta thấy rằng: - IO nằm trong mặt phẳng (SOC) và SA nằm trong mặt phằng (SAC). - Vì O là tâm của đáy ABCD, nên OA = OC và OB = OD. - Mặt khác, I là trung điểm của SC, do đó IO không thể song song với SA vì chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng và không có mối liên hệ trực tiếp về hướng. Do đó, mệnh đề (a) là sai. Mệnh đề (b): Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác. - Ta xét mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD. - Mặt phẳng (IBD) đi qua các đỉnh I, B, D. Ta thấy rằng: - Mặt phẳng (IBD) cắt cạnh SA tại một điểm nào đó (gọi là J). - Mặt phẳng (IBD) cắt cạnh SC tại I (trung điểm của SC). Do đó, thiết diện của mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD là tứ giác IJBD. Do đó, mệnh đề (b) là đúng. Mệnh đề (c): Giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng (SBD) là trọng tâm của tam giác SBD. - Ta xét giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng (SBD). - Trọng tâm của tam giác SBD là điểm G, thỏa mãn SG = 2GD và BG = 2GD. Ta thấy rằng: - AI đi qua trung điểm của SC (I) và A. - Mặt phẳng (SBD) chứa các đỉnh S, B, D. - Giao điểm của AI với mặt phẳng (SBD) không phải là trọng tâm của tam giác SBD vì AI không đi qua trọng tâm của tam giác SBD. Do đó, mệnh đề (c) là sai. Mệnh đề (d): Giao tuyến của hai mặt phẳng (IBD) và (SAC) là IO. - Ta xét giao tuyến của hai mặt phẳng (IBD) và (SAC). - Mặt phẳng (IBD) chứa các đỉnh I, B, D. - Mặt phẳng (SAC) chứa các đỉnh S, A, C. Ta thấy rằng: - IO nằm trong cả hai mặt phẳng (IBD) và (SAC). - Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (IBD) và (SAC) là IO. Do đó, mệnh đề (d) là đúng. Kết luận: - Mệnh đề (a) là sai. - Mệnh đề (b) là đúng. - Mệnh đề (c) là sai. - Mệnh đề (d) là đúng. Đáp án: Mệnh đề (b) và (d) là đúng. Câu 18. Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm thuộc hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A, B. - Mặt phẳng (IJG) bao gồm các điểm I, J, G. 2. Tìm giao điểm của các đường thẳng trong hai mặt phẳng: - Ta thấy rằng G là trọng tâm của tam giác SAB, do đó G nằm trên đường thẳng SA và SB. - I và J là trung điểm của AD và BC, do đó IJ song song với AB và CD. 3. Xác định giao tuyến: - Vì G là trọng tâm của tam giác SAB, nên G nằm trên đường thẳng SA và SB. - Mặt phẳng (IJG) bao gồm IJ và G, và IJ song song với AB và CD. - Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG) sẽ là đường thẳng đi qua G và song song với CD. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG) là đường thẳng qua G và song song với CD. Đáp án đúng là: (c) "Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG) là đường thẳng qua G và song song với CD." Câu 19: Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chóp và hình bình hành cũng như các kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng. Khẳng định (a): MN cắt mặt phẳng (SBD) - Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN song song với AC (theo định lý đường trung bình trong tam giác). - Mặt khác, AC nằm trong mặt phẳng (ABCD) và (ABCD) song song với (SBD) vì O là tâm của hình bình hành ABCD và cũng là giao điểm của các đường chéo BD và AC. - Do đó, MN không thể cắt mặt phẳng (SBD) vì MN song song với AC và AC nằm trong mặt phẳng (ABCD). Kết luận: Khẳng định (a) sai. Khẳng định (b): SB cắt mặt phẳng (MCD) - Vì M là trung điểm của SA nên M nằm trên đường thẳng SA. - Mặt phẳng (MCD) bao gồm các điểm M, C và D. - SB là đường thẳng đi qua S và B. Để SB cắt mặt phẳng (MCD), SB phải có điểm chung với (MCD). Tuy nhiên, SB không có điểm chung nào với M, C hoặc D ngoại trừ S (nếu S nằm trong (MCD)). Kết luận: Khẳng định (b) sai. Khẳng định (c): SD cắt mặt phẳng (MBC) - Vì M là trung điểm của SA nên M nằm trên đường thẳng SA. - Mặt phẳng (MBC) bao gồm các điểm M, B và C. - SD là đường thẳng đi qua S và D. Để SD cắt mặt phẳng (MBC), SD phải có điểm chung với (MBC). Tuy nhiên, SD không có điểm chung nào với M, B hoặc C ngoại trừ S (nếu S nằm trong (MBC)). Kết luận: Khẳng định (c) sai. Khẳng định (d): BN cắt mặt phẳng (SAD) - Vì N là trung điểm của SC nên N nằm trên đường thẳng SC. - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A và D. - BN là đường thẳng đi qua B và N. Để BN cắt mặt phẳng (SAD), BN phải có điểm chung với (SAD). Tuy nhiên, BN không có điểm chung nào với S, A hoặc D ngoại trừ B (nếu B nằm trong (SAD)). Kết luận: Khẳng định (d) sai. Đáp án: Tất cả các khẳng định đều sai. Câu 20. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định (a): Đường thẳng SB cắt mặt phẳng (ICD) - Điểm I là trung điểm của SA, do đó I nằm trên đường thẳng SA. - Điểm D nằm trên đáy của hình chóp S.ABCD. - Mặt phẳng (ICD) bao gồm các điểm I, C, và D. - Đường thẳng SB đi qua điểm B và S. - Để SB cắt mặt phẳng (ICD), SB phải đi qua một điểm nào đó trên mặt phẳng này. Tuy nhiên, SB không đi qua điểm I hoặc D, và cũng không đi qua điểm C (vì C không nằm trên SB). Do đó, SB không cắt mặt phẳng (ICD). Kết luận: Khẳng định (a) là sai. Khẳng định (b): Đường thẳng GO cắt mặt phẳng (SCD) - Điểm G là trọng tâm của tam giác SBC, do đó G nằm trên đường thẳng nối giữa S và trọng tâm của tam giác BCD. - Mặt phẳng (SCD) bao gồm các điểm S, C, và D. - Đường thẳng GO đi qua điểm O (giao điểm của AC và BD) và G. - Để GO cắt mặt phẳng (SCD), GO phải đi qua một điểm nào đó trên mặt phẳng này. Tuy nhiên, GO không đi qua điểm S hoặc D, và cũng không đi qua điểm C (vì C không nằm trên GO). Do đó, GO không cắt mặt phẳng (SCD). Kết luận: Khẳng định (b) là sai. Khẳng định (c): Đường thẳng SB cắt mặt phẳng (ACE) - Điểm A nằm trên đáy của hình chóp S.ABCD. - Điểm E nằm trên SD sao cho 3SE = 2SD, tức là E chia SD thành tỉ lệ 2:1. - Mặt phẳng (ACE) bao gồm các điểm A, C, và E. - Đường thẳng SB đi qua điểm B và S. - Để SB cắt mặt phẳng (ACE), SB phải đi qua một điểm nào đó trên mặt phẳng này. Tuy nhiên, SB không đi qua điểm A hoặc E, và cũng không đi qua điểm C (vì C không nằm trên SB). Do đó, SB không cắt mặt phẳng (ACE). Kết luận: Khẳng định (c) là sai. Khẳng định (d): Đường thẳng BG cắt mặt phẳng (ACE) - Điểm G là trọng tâm của tam giác SBC, do đó G nằm trên đường thẳng nối giữa S và trọng tâm của tam giác BCD. - Mặt phẳng (ACE) bao gồm các điểm A, C, và E. - Đường thẳng BG đi qua điểm B và G. - Để BG cắt mặt phẳng (ACE), BG phải đi qua một điểm nào đó trên mặt phẳng này. Tuy nhiên, BG không đi qua điểm A hoặc E, và cũng không đi qua điểm C (vì C không nằm trên BG). Do đó, BG không cắt mặt phẳng (ACE). Kết luận: Khẳng định (d) là sai. Đáp án cuối cùng: Tất cả các khẳng định (a), (b), (c), và (d) đều là sai. Câu 21 Để MNIJ là hình bình hành thì MN // IJ và MN = IJ. Trước tiên, ta chứng minh MN // IJ: - Vì I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC, nên IJ // AB // CD (theo tính chất đường trung bình trong tam giác). - Mặt phẳng (GIJ) cắt SA và SB tại M và N, do đó MN // IJ (vì MN nằm trong mặt phẳng (GIJ) và song song với IJ). Tiếp theo, ta cần chứng minh MN = IJ: - Ta có IJ = $\frac{1}{2}(AB + CD)$ (theo tính chất đường trung bình trong tam giác). - Để MN = IJ, ta cần MN = $\frac{1}{2}(AB + CD)$. Ta sẽ tìm tỉ số k sao cho MN = $\frac{1}{2}(AB + CD)$: - Vì G là trọng tâm của tam giác SAB, nên SG = $\frac{2}{3}SA$ và AG = $\frac{2}{3}AB$. - Mặt phẳng (GIJ) cắt SA và SB tại M và N, do đó MN = $\frac{1}{3}AB$ (vì G là trọng tâm và MN nằm trong mặt phẳng (GIJ)). Do đó, ta cần: \[ \frac{1}{3}AB = \frac{1}{2}(AB + CD) \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 2AB = 3(AB + CD) \] Mở ngoặc và sắp xếp lại: \[ 2AB = 3AB + 3CD \] \[ 0 = AB + 3CD \] \[ AB = -3CD \] Vì AB và CD đều là độ dài dương, nên ta cần: \[ AB = 3CD \] Vậy k = 3. Đáp số: k = 3.