Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1. HC SABCD đáy hcn $AB=2a;AC=5a$ SA 1 đáy,,$SA=Aa.~a)~(m(SAD)\bot(SAB);b)~cm~(SBC)\bot(SAC)$,c) AH đcao $\Delta ABC.Cm~(SBC)\bot(SAH)$,d) Tính góc : $(CSAD),(ABCD)),(CSBC),(ABCD)),((SBD),(ABCD))$,Bài 2. HC S.ABCD đáy $hv,~AC=2a,~SB\bot(ABCD),~SC=4a$,$a)~Cm:~(SBD)\bot(SAC),~(SCD)\bot(SBC),~(SAB)\bot(SAB)$,b) Tính góc giữa ((SAB),(ABCD), (SBC)/CSCB)/(SAB), (ABCD))

Question

Accepted Answer

Bài 1.
a) Vì $SA \perp$ đáy nên $SA \perp AD$ và $SA \perp AB$. Mặt phẳng $(SAD)$ chứa $SA$ và $AD$, mặt phẳng $(SAB)$ chứa $SA$ và $AB$. Do đó, $SA$ là đường thẳng chung của hai mặt phẳng này và vuông góc với cả hai đường thẳng $AD$ và $AB$. Vậy $(SAD) \perp (SAB)$.

b) Ta có $SA \perp$ đáy, do đó $SA \perp AC$. Mặt khác, vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC \perp AC$. Vậy $AC$ là đường thẳng chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ và vuông góc với cả hai đường thẳng $SA$ và $BC$. Do đó, $(SBC) \perp (SAC)$.

c) Ta có $AH \perp BC$ trong $\Delta ABC$. Mặt khác, $SA \perp$ đáy nên $SA \perp BC$. Vậy $BC$ là đường thẳng chung của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAH)$ và vuông góc với cả hai đường thẳng $AH$ và $SA$. Do đó, $(SBC) \perp (SAH)$.

d) 
- Góc giữa $(CSAD)$ và $(ABCD)$:
  Góc giữa hai mặt phẳng này là góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy $ABCD$. Ta có:
  $$
  SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(4a)^2 + (5a)^2} = \sqrt{16a^2 + 25a^2} = \sqrt{41a^2} = a\sqrt{41}
  $$
  Góc giữa $SC$ và $AC$ là góc giữa $(CSAD)$ và $(ABCD)$. Ta có:
  $$
  \cos \theta = \frac{AC}{SC} = \frac{5a}{a\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}
  $$
  Vậy góc giữa $(CSAD)$ và $(ABCD)$ là:
  $$
  \theta = \arccos \left( \frac{5}{\sqrt{41}} \right)
  $$

- Góc giữa $(CSBC)$ và $(ABCD)$:
  Góc giữa hai mặt phẳng này là góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy $ABCD$. Ta đã tính $SC = a\sqrt{41}$. Góc giữa $SC$ và $BC$ là góc giữa $(CSBC)$ và $(ABCD)$. Ta có:
  $$
  \cos \phi = \frac{BC}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{41}} = \frac{2}{\sqrt{41}}
  $$
  Vậy góc giữa $(CSBC)$ và $(ABCD)$ là:
  $$
  \phi = \arccos \left( \frac{2}{\sqrt{41}} \right)
  $$

- Góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$:
  Góc giữa hai mặt phẳng này là góc giữa đường thẳng $SD$ và đáy $ABCD$. Ta có:
  $$
  SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(4a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{16a^2 + 4a^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt{5}
  $$
  Góc giữa $SD$ và $AD$ là góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$. Ta có:
  $$
  \cos \psi = \frac{AD}{SD} = \frac{2a}{2a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
  $$
  Vậy góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là:
  $$
  \psi = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)
  $$

Đáp số:
a) $(SAD) \perp (SAB)$
b) $(SBC) \perp (SAC)$
c) $(SBC) \perp (SAH)$
d) Góc giữa $(CSAD)$ và $(ABCD)$ là $\arccos \left( \frac{5}{\sqrt{41}} \right)$
   Góc giữa $(CSBC)$ và $(ABCD)$ là $\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{41}} \right)$
   Góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là $\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

Bài 2.
a) Ta có:
- $SB \perp (ABCD)$ nên $SB \perp AC$ (vì $AC \subset (ABCD)$).
- $ABCD$ là hình vuông nên $AC \perp BD$ (đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau).

Do đó, $AC \perp (SBD)$ (vì $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$ là $SB$ và $BD$).

Từ đó suy ra $(SAC) \perp (SBD)$ (một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau).

Tương tự, ta chứng minh được $(SCD) \perp (SBC)$ và $(SAB) \perp (SAD)$.

b) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta có:
- $SO \perp (ABCD)$ (vì $SB \perp (ABCD)$ và $O$ là trung điểm của $BD$).
- $OA \perp AB$ (vì $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$).

Do đó, góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và $AB$, tức là góc $SAO$.

Ta tính $SO$:
- $SB \perp (ABCD)$ nên $SB \perp OB$.
- $OB = \frac{BD}{2} = \frac{AC}{2} = a\sqrt{2}$.

Trong tam giác vuông $SBO$, ta có:
$$ SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{(4a)^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{16a^2 - 2a^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14}. $$

Trong tam giác vuông $SAO$, ta có:
$$ AO = \frac{AC}{2} = a\sqrt{2}. $$

Góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ là góc $SAO$:
$$ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{a\sqrt{14}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{7}. $$

Vậy góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ là $\arctan(\sqrt{7})$.

Tương tự, ta tính góc giữa $(SBC)$ và $(SAB)$:
- Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $C$ xuống $SB$.
- $CH \perp SB$ (vì $SB \perp (ABCD)$ và $CH \subset (ABCD)$).

Trong tam giác vuông $SBC$, ta có:
$$ CH = \sqrt{SC^2 - SH^2} = \sqrt{(4a)^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{16a^2 - 2a^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14}. $$

Góc giữa $(SBC)$ và $(SAB)$ là góc giữa $BC$ và $AB$, tức là góc $BCH$:
$$ \tan(\angle BCH) = \frac{CH}{BH} = \frac{a\sqrt{14}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{7}. $$

Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(SAB)$ là $\arctan(\sqrt{7})$.

Đáp số:
a) $(SBD) \perp (SAC)$, $(SCD) \perp (SBC)$, $(SAB) \perp (SAD)$.
b) Góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$ là $\arctan(\sqrt{7})$.
   Góc giữa $(SBC)$ và $(SAB)$ là $\arctan(\sqrt{7})$.