Phương trình tuyếp tuyến của đạo hàm (C): y=(3x+1)/(2-3x) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

Question

Accepted Answer

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y = \frac{3x + 1}{2 - 3x} $ tại giao điểm của đồ thị với trục tung, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ $ x = 0 $.

Thay $ x = 0 $ vào phương trình hàm số:
$$ y = \frac{3(0) + 1}{2 - 3(0)} = \frac{1}{2} $$

Vậy giao điểm của đồ thị với trục tung là $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $.

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến.
- Đạo hàm của hàm số $ y = \frac{3x + 1}{2 - 3x} $ được tính bằng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y' = \frac{(3)(2 - 3x) - (3x + 1)(-3)}{(2 - 3x)^2} $$
$$ y' = \frac{6 - 9x + 9x + 3}{(2 - 3x)^2} $$
$$ y' = \frac{9}{(2 - 3x)^2} $$

Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $ x = 0 $.
- Thay $ x = 0 $ vào đạo hàm:
$$ y'(0) = \frac{9}{(2 - 3(0))^2} = \frac{9}{2^2} = \frac{9}{4} $$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $ là $ \frac{9}{4} $.

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến.
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $ (x_0, y_0) $ với hệ số góc $ k $ là:
$$ y - y_0 = k(x - x_0) $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ y - \frac{1}{2} = \frac{9}{4}(x - 0) $$
$$ y - \frac{1}{2} = \frac{9}{4}x $$
$$ y = \frac{9}{4}x + \frac{1}{2} $$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y = \frac{3x + 1}{2 - 3x} $ tại giao điểm của đồ thị với trục tung là:
$$ y = \frac{9}{4}x + \frac{1}{2} $$