Giuap mình với ạ

Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3 + 3} - \sqrt{n^2 + 2})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của từng phần riêng lẻ: - $\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3 + 3}$ - $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + 2}$ Bước 2: Ta thấy rằng khi $n$ tiến đến vô cùng, $n^3 + 3$ sẽ tiến đến $n^3$ và $n^2 + 2$ sẽ tiến đến $n^2$. Do đó: - $\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3 + 3} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n^3} = n$ - $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + 2} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2} = n$ Bước 3: Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: \[ \sqrt[3]{n^3 + 3} - \sqrt{n^2 + 2} \] Bước 4: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt[3]{n^3 + 3} - \sqrt{n^2 + 2} = \left( \sqrt[3]{n^3 + 3} - n \right) + \left( n - \sqrt{n^2 + 2} \right) \] Bước 5: Ta xét từng phần riêng lẻ: - $\sqrt[3]{n^3 + 3} - n = \frac{(n^3 + 3) - n^3}{\sqrt[3]{(n^3 + 3)^2} + n \sqrt[3]{n^3 + 3} + n^2} = \frac{3}{\sqrt[3]{(n^3 + 3)^2} + n \sqrt[3]{n^3 + 3} + n^2}$ - $n - \sqrt{n^2 + 2} = \frac{n^2 - (n^2 + 2)}{n + \sqrt{n^2 + 2}} = \frac{-2}{n + \sqrt{n^2 + 2}}$ Bước 6: Khi $n$ tiến đến vô cùng, ta có: - $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt[3]{(n^3 + 3)^2} + n \sqrt[3]{n^3 + 3} + n^2} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{-2}{n + \sqrt{n^2 + 2}} = 0$ Bước 7: Kết hợp lại ta có: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3 + 3} - \sqrt{n^2 + 2}) = 0 + 0 = 0 \] Vậy, $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3 + 3} - \sqrt{n^2 + 2}) = 0$.