đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn A và B là hai tiếp điểm Gọi H là giao điểm của OM và AB Vẽ đường kính AC của đường tròn tâm O Gọi D là giao điểm của MC với đường tròn tâm O A ch...

A. Chứng minh H là trung điểm của AB và MH = MC x MD - Xét tam giác MAB có OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn tâm O) và MA = MB (vì cả hai đều là tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn). Do đó, tam giác MAB là tam giác cân tại M. - Vì tam giác MAB là tam giác cân tại M nên đường cao hạ từ M xuống AB cũng là đường trung trực của AB. Vậy H là trung điểm của AB. - Xét tam giác MAB và tam giác MAC: - MA chung. - ∠MAB = ∠MAC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - ∠AMB = ∠AMC (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). - Do đó, tam giác MAB đồng dạng với tam giác MAC (góc-góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{MH}{MA} = \frac{MA}{MC}$, suy ra $MH \times MC = MA^2$. - Ta cũng có $MA^2 = MD \times MC$ (theo tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông). - Kết hợp hai kết quả trên ta có: $MH \times MC = MD \times MC$, suy ra $MH = MD$. B. Chứng minh rằng $\frac{AB}{AC} \times HI = \frac{1}{HB} + \frac{1}{MB}$ - Xét tam giác OAB có OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn tâm O) và ∠OAB = ∠OBA (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). Do đó, tam giác OAB là tam giác cân tại O. - Vì tam giác OAB là tam giác cân tại O nên đường cao hạ từ O xuống AB cũng là đường trung trực của AB. Vậy H là trung điểm của AB. - Xét tam giác OAI và tam giác OBI: - OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn tâm O). - ∠OAI = ∠OBI (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - ∠AOI = ∠BOI (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). - Do đó, tam giác OAI đồng dạng với tam giác OBI (góc-góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{HI}{IA} = \frac{IB}{OB}$, suy ra $HI \times OB = IA \times IB$. - Ta cũng có $IA \times IB = HB \times MB$ (theo tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông). - Kết hợp hai kết quả trên ta có: $HI \times OB = HB \times MB$, suy ra $\frac{HI}{HB} = \frac{MB}{OB}$. - Ta cũng có $\frac{AB}{AC} = \frac{HB}{OB}$ (theo tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông). - Kết hợp hai kết quả trên ta có: $\frac{AB}{AC} \times HI = \frac{1}{HB} + \frac{1}{MB}$. Đáp số: A. H là trung điểm của AB và MH = MC x MD B. $\frac{AB}{AC} \times HI = \frac{1}{HB} + \frac{1}{MB}$