Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HM⊥AB, HN⊥AC. Gọi K là trung điểm của BC. CM: AK⊥MN.

Để chứng minh rằng \(AK \perp MN\), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường trung tuyến. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). - \(AH\) là đường cao hạ từ \(A\) xuống \(BC\). - \(HM \perp AB\) và \(HN \perp AC\). - \(K\) là trung điểm của \(BC\). 2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là đỉnh vuông, đường trung tuyến \(AK\) hạ từ đỉnh vuông \(A\) đến cạnh huyền \(BC\) sẽ bằng nửa cạnh huyền: \[ AK = \frac{1}{2}BC \] 3. Tính chất của các đường cao và đường vuông góc: - Vì \(HM \perp AB\) và \(HN \perp AC\), nên \(M\) và \(N\) lần lượt là các điểm chính giữa của các đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\). 4. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông: - Trong tam giác \(AHB\) và \(AHC\), \(HM\) và \(HN\) là các đường trung tuyến hạ từ đỉnh vuông \(H\) đến các cạnh \(AB\) và \(AC\). Do đó, \(M\) và \(N\) là các điểm chính giữa của \(AB\) và \(AC\): \[ M \text{ là trung điểm của } AB \quad \text{và} \quad N \text{ là trung điểm của } AC \] 5. Chứng minh \(AK \perp MN\): - Ta cần chứng minh rằng \(AK\) vuông góc với \(MN\). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung tuyến và đường cao trong tam giác vuông. - Vì \(K\) là trung điểm của \(BC\), \(AK\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Đường trung tuyến hạ từ đỉnh vuông của tam giác vuông đến cạnh huyền sẽ vuông góc với đường thẳng nối các trung điểm của hai cạnh kề đỉnh vuông. - Do đó, \(AK \perp MN\). Kết luận: \(AK \perp MN\).