Giúp mình với! Bài 5: Một Khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14m. Người ta muốn xây,dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn. Biết rằng một,cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích,lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.,

Question

Giúp mình với! Bài 5: Một Khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14m. Người ta muốn xây,dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn. Biết rằng một,cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích,lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/11edc279d9ba47c7b9cc6bc2dad6a1cd.jpg />

Accepted Answer

Gọi (O) là đường tròn đường kính MN = 14m và ABCD là hình chữ nhật như hình vẽ trên.
Đặt AB = x (0 < x < 14)
AM + BN = MN - AB = 14 - x hay AM + BN = 14 - x (1)
AM = BN (gt) (2)
Từ (1) và (2) ta có $\displaystyle AM\ =\ BN\ =\ \frac{14\ -\ x}{2} \ =\ 7\ -\ \frac{x}{2} \ ( m)$
$\displaystyle BM\ =\ AM\ +\ AB\ =\ 7\ -\ \frac{x}{2} \ +\ x\ =\ 7\ +\ \frac{x}{2} \ ( m)$
ABCD là hình chữ nhật nên $\displaystyle BC\ \bot \ AB$ hay $\displaystyle BC\ \bot \ MN$ nên $\displaystyle \widehat{CBM} \ =\ \widehat{NBC} \ =\ 90^{0}$
$\displaystyle \widehat{MCN}$ là góc nội tiếp đường tròn (O) nên $\displaystyle \widehat{MCN} \ =\ 90^{0} \ $hay $\displaystyle MC\ \bot \ NC$ nên $\displaystyle \vartriangle MCN$ vuông tại C
Do đó: $\displaystyle \widehat{CMN} \ +\ \widehat{CNM} \ =\ 90^{0}$ hay $\displaystyle \widehat{CMB} \ +\ \widehat{CNB} \ =\ 90^{0}$, suy ra $\displaystyle \widehat{CMB} \ =\ 90^{0} \ -\ \widehat{CNB}$ (3)
$\displaystyle CB\ \bot \ AB$ hay $\displaystyle CB\ \bot \ BN$ nên $\displaystyle \vartriangle BCN$ vuông tại N suy ra $\displaystyle \widehat{NCB} \ +\ \widehat{CNB} \ =\ 90^{0}$ Suy ra $\displaystyle \widehat{NCB} \ =\ 90^{0} \ -\ \widehat{CNB}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\displaystyle \widehat{CMB} \ =\ \widehat{NCB}$
Xét $\displaystyle \vartriangle CBM$ và $\displaystyle \vartriangle NBC$ có
$\displaystyle \widehat{CMB} \ =\ \widehat{NCB}$
$\displaystyle \widehat{CBM} \ =\ \widehat{NBC} \ $
nên $\displaystyle \vartriangle CBM\ \sim \ \vartriangle NBC$ (g.g)
Suy ra $\displaystyle \frac{BC}{BN} \ =\ \frac{BM}{BC}$
nên $\displaystyle BC^{2} \ =\ BM.BN\ =\left( \ 7\ -\ \frac{x}{2} ight)\left( \ 7\ + \ \frac{x}{2} ight) \ =\ 49\ -\ \frac{x^{2}}{4} \ $
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{ABCD} \ =\ x.\sqrt{49\ -\ \frac{x^{2}}{4}} \ =\ 2.\frac{x}{2}\sqrt{49\ -\ \frac{x^{2}}{4}}\
=\ \ 2.\sqrt{\frac{x^{2}}{4}}\sqrt{49\ -\ \frac{x^{2}}{4}} \ \leqslant \ \frac{x^{2}}{4} \ +\ 49\ -\ \frac{x^{2}}{4} \ =\ 49
\end{array}$
Vậy diện tích lớn nhất là $\displaystyle 49\left( m^{2} ight)$ khi $\displaystyle \frac{x^{2}}{4} \ =\ 49\ -\ \frac{x^{2}}{4} \ \Leftrightarrow \ x\ =\ 7\sqrt{2}$