Giúp mình với!

Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm vận tốc và gia tốc của tàu con thoi. a) Vận tốc của tàu con thoi luôn tăng trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến khi tên lửa đấy được phóng đi. Vận tốc của tàu con thoi được cho bởi: \[ v(t) = 0,001302t^3 - 0,09029t^2 + 23,61t - 3,083 \] Đạo hàm của \( v(t) \) để tìm gia tốc \( a(t) \): \[ a(t) = v'(t) = 0,003906t^2 - 0,18058t + 23,61 \] Để kiểm tra xem vận tốc luôn tăng hay không, chúng ta cần kiểm tra dấu của \( a(t) \) trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 126 \). Tìm nghiệm của phương trình \( a(t) = 0 \): \[ 0,003906t^2 - 0,18058t + 23,61 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{0,18058 \pm \sqrt{(0,18058)^2 - 4 \cdot 0,003906 \cdot 23,61}}{2 \cdot 0,003906} \] \[ t = \frac{0,18058 \pm \sqrt{0,03261 - 0,3716}}{0,007812} \] \[ t = \frac{0,18058 \pm \sqrt{-0,339}}{0,007812} \] Phương trình này không có nghiệm thực vì \( b^2 - 4ac < 0 \). Do đó, \( a(t) \) luôn dương hoặc luôn âm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 126 \). Kiểm tra giá trị của \( a(t) \) tại \( t = 0 \): \[ a(0) = 23,61 > 0 \] Vì \( a(t) \) luôn dương, vận tốc của tàu con thoi luôn tăng trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 126 \). Mệnh đề a) đúng. b) Gia tốc lớn nhất mà tàu con thoi có thể đạt được trong lúc thực hiện sử mệnh trên (làm tròn đến hàng phần trăm) là 62,87 feet/s². Để tìm gia tốc lớn nhất, chúng ta cần tìm cực đại của \( a(t) \). Đạo hàm của \( a(t) \) là: \[ a'(t) = 0,007812t - 0,18058 \] Tìm nghiệm của phương trình \( a'(t) = 0 \): \[ 0,007812t - 0,18058 = 0 \] \[ t = \frac{0,18058}{0,007812} \approx 23 \] Kiểm tra giá trị của \( a(t) \) tại \( t = 23 \): \[ a(23) = 0,003906 \cdot 23^2 - 0,18058 \cdot 23 + 23,61 \] \[ a(23) = 0,003906 \cdot 529 - 0,18058 \cdot 23 + 23,61 \] \[ a(23) = 2,056 - 4,153 + 23,61 \] \[ a(23) = 21,513 \] Kiểm tra giá trị của \( a(t) \) tại \( t = 0 \) và \( t = 126 \): \[ a(0) = 23,61 \] \[ a(126) = 0,003906 \cdot 126^2 - 0,18058 \cdot 126 + 23,61 \] \[ a(126) = 0,003906 \cdot 15876 - 0,18058 \cdot 126 + 23,61 \] \[ a(126) = 61,99 - 22,75 + 23,61 \] \[ a(126) = 62,85 \] Vậy gia tốc lớn nhất là 62,85 feet/s². Mệnh đề b) sai. c) Gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến thời điểm \( t = 23 \) s. Đạo hàm của \( a(t) \) là: \[ a'(t) = 0,007812t - 0,18058 \] Kiểm tra dấu của \( a'(t) \) trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 23 \): \[ a'(0) = -0,18058 < 0 \] \[ a'(23) = 0,007812 \cdot 23 - 0,18058 = 0 \] Vì \( a'(t) \) chuyển từ âm sang dương tại \( t = 23 \), gia tốc của tàu con thoi giảm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 23 \). Mệnh đề c) sai. d) Gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ \( t = 21,5 \) s đến 126 s. Kiểm tra dấu của \( a'(t) \) trong khoảng thời gian từ \( t = 21,5 \) đến \( t = 126 \): \[ a'(21,5) = 0,007812 \cdot 21,5 - 0,18058 = -0,00001 < 0 \] \[ a'(126) = 0,007812 \cdot 126 - 0,18058 = 0,7812 > 0 \] Vì \( a'(t) \) chuyển từ âm sang dương tại \( t = 23 \), gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ \( t = 23 \) đến 126 s. Mệnh đề d) đúng. Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 3: Câu hỏi: Xét tính ĐÚNG, SAI b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai đường tiệm cận ngang $y=2$ và $y=3$ c) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trong khoảng $(1;+\infty)$ d) Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị. Câu trả lời: b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai đường tiệm cận ngang $y=2$ và $y=3$ - Xét giới hạn khi $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$. Điều này cho thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y=2$ khi $x \to -\infty$. - Xét giới hạn khi $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$. Điều này cho thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y=3$ khi $x \to +\infty$. Vậy, đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai đường tiệm cận ngang $y=2$ và $y=3$. ĐÁP ÁN: ĐÚNG. c) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trong khoảng $(1;+\infty)$ - Xét bảng biến thiên, ta thấy rằng trong khoảng $(1;+\infty)$, giá trị của $f(x)$ giảm dần từ $+\infty$ xuống $3$. Điều này cho thấy hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trong khoảng $(1;+\infty)$. Vậy, hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trong khoảng $(1;+\infty)$. ĐÁP ÁN: ĐÚNG. d) Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị - Xét bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=1$. Điều này cho thấy hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị. Vậy, hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị. ĐÁP ÁN: ĐÚNG. Kết luận: b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) Đồ thị hàm số đã cho là hàm số $y=\frac{2x^2-1}{x+1}.$ Để kiểm tra điều này, chúng ta cần vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x^2-1}{x+1}$ và so sánh với đồ thị đã cho. Tuy nhiên, vì chúng ta không có khả năng vẽ đồ thị trực tiếp ở đây, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hàm số để kiểm tra. Hàm số $y=\frac{2x^2-1}{x+1}$ có dạng phân thức bậc hai chia cho bậc nhất. Điều này có nghĩa là nó có thể có các đặc điểm như đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang. Chúng ta cũng cần kiểm tra các giới hạn khi $x$ tiến đến vô cùng và các điểm bất thường khác. b) Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Để kiểm tra điều này, chúng ta cần xem xét hành vi của hàm số khi $x$ tiến đến các giá trị cực đại và cực tiểu. Nếu hàm số không bị chặn từ trên hoặc dưới, thì nó sẽ không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. c) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$. Để kiểm tra điều này, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số và kiểm tra dấu của đạo hàm trên toàn bộ miền xác định. Nếu đạo hàm luôn dương, thì hàm số đồng biến trên toàn bộ miền xác định. d) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị. Để kiểm tra điều này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng không và kiểm tra các điểm đó. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước trên để kiểm tra từng phát biểu. a) Kiểm tra đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-1}{x+1}$: - Đạo hàm của hàm số: $y' = \frac{(4x)(x+1) - (2x^2-1)}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - 2x^2 + 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 1}{(x+1)^2}$. - Đặt $y' = 0$: $\frac{2x^2 + 4x + 1}{(x+1)^2} = 0 \Rightarrow 2x^2 + 4x + 1 = 0$. Phương trình này có nghiệm $x = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. - Kiểm tra các giới hạn: $\lim_{x \to \infty} y = 2$, $\lim_{x \to -\infty} y = 2$, $\lim_{x \to -1^-} y = -\infty$, $\lim_{x \to -1^+} y = \infty$. b) Kiểm tra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Từ các giới hạn trên, chúng ta thấy rằng hàm số không bị chặn từ trên hoặc dưới, do đó nó không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. c) Kiểm tra tính đồng biến: - Đạo hàm $y' = \frac{2x^2 + 4x + 1}{(x+1)^2}$. Ta thấy rằng $2x^2 + 4x + 1 > 0$ cho mọi $x$, do đó $y' > 0$ cho mọi $x \neq -1$. Vì vậy, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. d) Kiểm tra số lượng cực trị: - Từ việc giải phương trình đạo hàm bằng không, chúng ta thấy rằng hàm số có hai điểm cực trị tại $x = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tóm lại, các phát biểu đúng là: - b) Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. - d) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị. Đáp án: b) và d). Câu 1. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường thẳng giao của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (MBD) và (ABCD) giao nhau theo đường thẳng BD. 2. Tìm đường vuông góc chung của hai mặt phẳng: - Ta cần tìm đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). - Mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng nằm ngang, do đó đường thẳng vuông góc với nó sẽ là đường thẳng từ đỉnh S hạ vuông góc xuống đáy ABCD, tức là SO. - Mặt phẳng (MBD) chứa đường thẳng BD và M là trung điểm của SC. Ta cần tìm đường thẳng vuông góc với BD trong mặt phẳng (MBD). 3. Tìm đường thẳng vuông góc với BD trong mặt phẳng (MBD): - Vì S.ABCD là hình chóp đều, nên SO vuông góc với đáy ABCD. - Mặt khác, SO cũng vuông góc với BD vì BD nằm trong mặt phẳng ABCD. - Do đó, SO là đường thẳng vuông góc chung của hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) chính là góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD). - Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD) là 90°. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là 90°. Đáp số: 90° Câu 2: Trước hết, chúng ta cần xác định hàm số \( f(t) \) biểu thị nồng độ muối trong bể sau thời gian \( t \) phút. Sau mỗi phút, người ta bơm vào bể 20 lít nước muối có nồng độ 25 gam muối/lít. Như vậy, mỗi phút sẽ có thêm: \[ 20 \times 25 = 500 \text{ gam muối} \] Ban đầu, bể chứa 3000 lít nước tinh khiết, tức là không có muối. Sau \( t \) phút, tổng thể tích nước trong bể sẽ là: \[ 3000 + 20t \text{ lít} \] Tổng lượng muối trong bể sau \( t \) phút là: \[ 500t \text{ gam} \] Do đó, nồng độ muối trong bể sau \( t \) phút là: \[ f(t) = \frac{500t}{3000 + 20t} \text{ gam/lít} \] Chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số này khi \( t \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{500t}{3000 + 20t} \] Chia cả tử và mẫu cho \( t \): \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{500t}{3000 + 20t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{500}{\frac{3000}{t} + 20} \] Khi \( t \) tiến đến vô cùng, \(\frac{3000}{t}\) tiến đến 0: \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{500}{\frac{3000}{t} + 20} = \frac{500}{0 + 20} = \frac{500}{20} = 25 \text{ gam/lít} \] Vậy khi \( t \) càng lớn, nồng độ muối trong bể tiến gần đến 25 gam/lít. Đáp số: 25 gam/lít. Câu 3. Để tìm thời điểm mà số người nhiễm bệnh đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( f(t) = 45t^2 - t^3 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(t) \): \[ f'(t) = \frac{d}{dt}(45t^2 - t^3) = 90t - 3t^2 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 90t - 3t^2 = 0 \] \[ 3t(30 - t) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 30 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện \( t = 0, 1, 2, ..., 25 \). Ta thấy rằng \( t = 30 \) không thuộc khoảng này, do đó ta chỉ xét \( t = 0 \). Bước 4: Xét dấu của đạo hàm \( f'(t) \) trong khoảng \( t = 0 \) đến \( t = 25 \): - Khi \( t < 30 \), \( f'(t) > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( t > 30 \), \( f'(t) < 0 \) (hàm số giảm) Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( t = 25 \). Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại \( t = 25 \): \[ f(25) = 45(25)^2 - (25)^3 = 45 \times 625 - 15625 = 28125 - 15625 = 12500 \] Vậy, số người nhiễm bệnh đạt giá trị lớn nhất vào ngày thứ 25, với số người nhiễm bệnh là 12500 người. Đáp số: Ngày thứ 25, số người nhiễm bệnh là 12500 người.