Giúp với ạ

Câu 5 Để tìm khẳng định đúng về vectơ $\overrightarrow{AI}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AM}$: - M là trung điểm của CD, nên: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{2} = \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2} \] 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{BM}$: - Ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2} - \overrightarrow{a} \] 3. Tìm vectơ $\overrightarrow{BI}$: - I là trung điểm của BM, nên: \[ \overrightarrow{BI} = \frac{\overrightarrow{BM}}{2} = \frac{\frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2} - \overrightarrow{a}}{2} = \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4} - \frac{\overrightarrow{a}}{2} \] 4. Tìm vectơ $\overrightarrow{AI}$: - Ta có: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{a} + \left( \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4} - \frac{\overrightarrow{a}}{2} \right) \] - Rút gọn biểu thức trên: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{a} + \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4} - \frac{\overrightarrow{a}}{2} = \frac{2\overrightarrow{a}}{2} + \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4} - \frac{\overrightarrow{a}}{2} = \frac{\overrightarrow{a}}{2} + \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4} \] - Kết hợp các thành phần: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{a}}{2} + \frac{\overrightarrow{b}}{4} + \frac{\overrightarrow{c}}{4} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$. Câu 6 Để tìm vectơ $\overrightarrow{AG}$, ta cần sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác. Trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] Thay các vectơ đã cho vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ Đáp án: B. $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ Câu 7 Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Do đó, ta có thể biểu diễn các vectơ dựa trên các vectơ đã cho. Ta có: - $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$ - $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ Bây giờ, ta cần biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$. Ta có: \[ \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{AC} \] Trong đó: - $\overrightarrow{B'C'} = -\overrightarrow{BB'} = -\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{C'A} = -\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{c}$ - $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ Do đó: \[ \overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{c}) + \overrightarrow{c} \] \[ \overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ Câu 8 Để phân tích vectơ $\overrightarrow{BC^\prime}$ qua các vectơ $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$, $\overrightarrow c$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ liên quan: - $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C^\prime}$ - Ta biết rằng $\overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$. 2. Biểu diễn $\overrightarrow{C^\prime}$ qua các vectơ đã cho: - $\overrightarrow{C^\prime} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{CC^\prime}$ - Vì $\overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{a}$, nên $\overrightarrow{C^\prime} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{a}$. 3. Biểu diễn $\overrightarrow{C}$ qua các vectơ đã cho: - $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{c}$. 4. Biểu diễn $\overrightarrow{B}$ qua các vectơ đã cho: - $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{b}$. 5. Thay vào biểu thức $\overrightarrow{BC^\prime}$: - $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{C^\prime} - \overrightarrow{B}$ - $\overrightarrow{BC^\prime} = (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{a}) - \overrightarrow{B}$ - $\overrightarrow{BC^\prime} = ((\overrightarrow{A} + \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{b})$ - $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{b}$ - $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ Do đó, $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$. Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$. Câu 9 Để tìm vector $\overrightarrow{AI}$, ta cần xác định vị trí của điểm I trên đường thẳng BG. Vì I là trung điểm của BG, ta có: \[\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BG}\] Ta biết rằng: \[\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\] Do đó: \[\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}(-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = -\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}\] Bây giờ, ta tính $\overrightarrow{AI}$ bằng cách cộng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BI}$: \[\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{a} + (-\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}\] Vậy khẳng định đúng là: C. $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$. Câu 10 Để tìm vectơ $\overrightarrow{AM}$, ta sẽ sử dụng các vectơ đã cho và tính toán theo quy tắc cộng vectơ. Trước tiên, ta viết $\overrightarrow{AM}$ dưới dạng tổng của các vectơ đã biết: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \] Vì M là trung điểm của BB', nên: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AM} = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} \] Tổng hợp lại, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$. Câu 11 Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = 2\overrightarrow{AC}$ Ta có: - $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$ - $\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$ Do đó: \[ \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + (\overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) \] \[ = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} \] \[ = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{CC_1} \] \[ = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CC_1} \] Mặt khác: \[ 2\overrightarrow{AC} = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \] Như vậy, khẳng định A là sai vì $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} \neq 2\overrightarrow{AC}$. B. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}$ Ta có: - $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$ - $\overrightarrow{CA_1} = -\overrightarrow{AC_1} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1})$ - $\overrightarrow{C_1C} = -\overrightarrow{CC_1}$ Do đó: \[ \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + (-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CC_1}) + 2(-\overrightarrow{CC_1}) \] \[ = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CC_1} - 2\overrightarrow{CC_1} \] \[ = -2\overrightarrow{CC_1} \] Như vậy, khẳng định B là sai vì $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} \neq \overrightarrow{0}$. C. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AA_1}$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: \[ \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CC_1} \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_1} \] Như vậy, khẳng định C là sai vì $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} \neq \overrightarrow{AA_1}$. D. $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CC_1}$ Ta có: - $\overrightarrow{CA_1} = -\overrightarrow{AC_1} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1})$ - $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ Do đó: \[ \overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \] \[ = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] \[ = -\overrightarrow{CC_1} \] Như vậy, khẳng định D là sai vì $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{CC_1}$. Kết luận: Các khẳng định A, B, C và D đều sai.