câu 3 giúp e vs ạ

Bài 3: a) Ta có $\overrightarrow{OA}=(1;3;0)$ và $\overrightarrow{OB}=(4;0;2)$. Giả sử ba điểm O, A, B thẳng hàng thì tồn tại số thực k sao cho $\overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OB}$. Từ đó ta có $1=4k$, $3=0$ và $0=2k$. Điều này vô lý, do đó ba điểm O, A, B không thẳng hàng. b) Ta tính khoảng cách giữa các điểm: - $OA = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ - $OB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ - $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0-3)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}$ Chu vi tam giác OAB là: \[ OA + OB + AB = \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + \sqrt{22} \] c) Diện tích tam giác OAB: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: $s = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + \sqrt{22}}{2}$ - Diện tích tam giác: $S = \sqrt{s(s - \sqrt{10})(s - 2\sqrt{5})(s - \sqrt{22})}$ d) Cosin của góc A trong tam giác OAB: Áp dụng công thức cosin: \[ \cos A = \frac{OA^2 + AB^2 - OB^2}{2 \cdot OA \cdot AB} = \frac{10 + 22 - 20}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{22}} = \frac{12}{2 \cdot \sqrt{220}} = \frac{6}{\sqrt{220}} = \frac{3}{\sqrt{55}} \] e) Trọng tâm G của tam giác OAB: \[ G = \left( \frac{1+4+0}{3}, \frac{3+0+0}{3}, \frac{0+2+0}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, 1, \frac{2}{3} \right) \] f) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác OABD là hình bình hành: \[ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (1+4, 3+0, 0+2) = (5, 3, 2) \] Do đó, tọa độ của D là $(5, 3, 2)$. g) Tìm tọa độ điểm N thỏa mãn: $2\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AB}$ \[ \overrightarrow{AN} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{2}(3, -3, 2) = \left(\frac{9}{2}, -\frac{9}{2}, 3\right) \] \[ N = A + \overrightarrow{AN} = \left(1 + \frac{9}{2}, 3 - \frac{9}{2}, 0 + 3\right) = \left(\frac{11}{2}, -\frac{3}{2}, 3\right) \] h) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho tam giác ABM cân tại M: \[ M = (0, y, 0) \] Để tam giác ABM cân tại M, ta cần: \[ AM = BM \] \[ \sqrt{(1-0)^2 + (3-y)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(4-0)^2 + (0-y)^2 + (2-0)^2} \] \[ 1 + (3-y)^2 = 16 + y^2 + 4 \] \[ 1 + 9 - 6y + y^2 = 20 + y^2 \] \[ 10 - 6y = 20 \] \[ -6y = 10 \] \[ y = -\frac{5}{3} \] Do đó, tọa độ của M là $\left(0, -\frac{5}{3}, 0\right)$. i) Tìm tọa độ điểm H thuộc trục hoành sao cho ABH vuông tại H: \[ H = (x, 0, 0) \] Để tam giác ABH vuông tại H, ta cần: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BH} = 0 \] \[ (x-1, -3, 0) \cdot (x-4, 0, -2) = 0 \] \[ (x-1)(x-4) + (-3)(0) + (0)(-2) = 0 \] \[ (x-1)(x-4) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 4 \] Do đó, tọa độ của H là $(1, 0, 0)$ hoặc $(4, 0, 0)$.