giải sao v mn

Câu 27. Để tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chóp và các thông số: Hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\). Điều này có nghĩa là \(AB = BC\) và góc \(ABC = 90^\circ\). Mặt khác, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\). 2. Tìm diện tích tam giác \(SAB\): - Vì \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, nên \(SA\) cũng vuông góc với \(AB\). - Diện tích tam giác \(SAB\) là: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SA \] 3. Tính thể tích khối chóp \(SABC\): - Diện tích đáy \(ABC\) là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AB^2 \] - Thể tích khối chóp \(SABC\) là: \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times AB^2\right) \times SA = \frac{1}{6} \times AB^2 \times SA \] 4. Tính thể tích khối chóp \(CSAB\): - Diện tích tam giác \(SAB\) đã được tính ở trên. - Thể tích khối chóp \(CSAB\) là: \[ V_{CSAB} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times d(C, (SAB)) \] Trong đó \(d(C, (SAB))\) là khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\). 5. Áp dụng tính chất thể tích để tìm khoảng cách: - Vì thể tích khối chóp \(SABC\) và \(CSAB\) là cùng một thể tích, ta có: \[ V_{SABC} = V_{CSAB} \] \[ \frac{1}{6} \times AB^2 \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times AB \times SA\right) \times d(C, (SAB)) \] \[ \frac{1}{6} \times AB^2 \times SA = \frac{1}{6} \times AB \times SA \times d(C, (SAB)) \] \[ AB^2 = AB \times d(C, (SAB)) \] \[ d(C, (SAB)) = AB \] 6. Kết luận: Vì \(AB = a\sqrt{2}\) (do \(ABC\) là tam giác vuông cân), ta có: \[ d(C, (SAB)) = a\sqrt{2} \] Vậy khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\) là \(a\sqrt{2}\). Đáp án đúng là A. \(a\sqrt{2}\). Câu 28. Để tìm góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài đoạn thẳng \(AC\): - Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), do đó ta sử dụng định lý Pythagoras: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] 2. Tìm độ dài đoạn thẳng \(SC\): - Tam giác \(SAC\) là tam giác vuông tại \(A\) (vì \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy): \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] 3. Tìm góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy: - Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng đáy \(ABC\). Vì \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, nên \(H\) trùng với \(A\). - Ta cần tìm góc giữa \(SC\) và \(AC\), tức là góc \( \angle SAC \). 4. Áp dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy \(ABC\) là góc giữa \(SC\) và \(AC\): \[ \sin(\angle SAC) = \frac{SA}{SC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] - Từ đây suy ra: \[ \angle SAC = 30^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy \(ABC\) là \(30^\circ\). Đáp án đúng là: C. \(30^\circ\). Câu 29. Để tìm ngày mà thành phố X có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( A = 5 \sin \left( \frac{\pi}{180} (t - 68) \right) + 9 \). Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất của hàm sin. Hàm số \( \sin(x) \) có giá trị lớn nhất là 1. Do đó, giá trị lớn nhất của \( 5 \sin \left( \frac{\pi}{180} (t - 68) \right) \) là 5. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( A \). \[ A_{\text{max}} = 5 \cdot 1 + 9 = 14 \] Bước 3: Xác định giá trị của \( t \) khi hàm số đạt giá trị lớn nhất. \[ \sin \left( \frac{\pi}{180} (t - 68) \right) = 1 \] \[ \frac{\pi}{180} (t - 68) = \frac{\pi}{2} \] \[ t - 68 = 90 \] \[ t = 158 \] Vậy vào ngày thứ 158 của năm 2023, thành phố X có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất. Đáp án đúng là: A. 158. Câu 30. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A vào năm 2019 là \( A_0 = 1000 \) ha. Mỗi năm tiếp theo, diện tích rừng trồng mới tăng 6%, tức là mỗi năm diện tích rừng trồng mới sẽ là 106% của diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Ta có công thức tính diện tích rừng trồng mới vào năm thứ \( n \): \[ A_n = A_0 \times (1 + 0.06)^n = 1000 \times 1.06^n \] Muốn tìm năm đầu tiên mà diện tích rừng trồng mới đạt trên 1400 ha, ta cần giải phương trình: \[ 1000 \times 1.06^n > 1400 \] \[ 1.06^n > 1.4 \] Áp dụng logarit để giải phương trình này: \[ \log(1.06^n) > \log(1.4) \] \[ n \cdot \log(1.06) > \log(1.4) \] \[ n > \frac{\log(1.4)}{\log(1.06)} \] Tính giá trị của biểu thức: \[ \log(1.4) \approx 0.146 \] \[ \log(1.06) \approx 0.0253 \] \[ n > \frac{0.146}{0.0253} \approx 5.77 \] Vì \( n \) phải là số nguyên dương, ta chọn \( n = 6 \). Do đó, năm đầu tiên mà diện tích rừng trồng mới đạt trên 1400 ha là năm 2019 + 6 = 2025. Đáp án đúng là: B. 2025. Câu 31. Để xác định các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) dựa trên đồ thị, chúng ta sẽ phân tích từng hàm số và so sánh chúng. 1. Hàm số \(y = a^x\): - Nếu \(a > 1\), đồ thị hàm số \(y = a^x\) sẽ tăng từ trái sang phải. - Nếu \(0 < a < 1\), đồ thị hàm số \(y = a^x\) sẽ giảm từ trái sang phải. 2. Hàm số \(y = b^x\): - Nếu \(b > 1\), đồ thị hàm số \(y = b^x\) sẽ tăng từ trái sang phải. - Nếu \(0 < b < 1\), đồ thị hàm số \(y = b^x\) sẽ giảm từ trái sang phải. 3. Hàm số \(y = \log_c x\): - Nếu \(c > 1\), đồ thị hàm số \(y = \log_c x\) sẽ tăng từ trái sang phải. - Nếu \(0 < c < 1\), đồ thị hàm số \(y = \log_c x\) sẽ giảm từ trái sang phải. Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh các đồ thị trong hình vẽ: - Đồ thị \(y = a^x\) tăng từ trái sang phải, do đó \(a > 1\). - Đồ thị \(y = b^x\) cũng tăng từ trái sang phải, do đó \(b > 1\). - Đồ thị \(y = \log_c x\) tăng từ trái sang phải, do đó \(c > 1\). Tiếp theo, chúng ta cần xác định thứ tự của \(a\), \(b\), và \(c\): - So sánh tốc độ tăng của các đồ thị: - Đồ thị \(y = a^x\) tăng nhanh hơn đồ thị \(y = b^x\), do đó \(a > b\). - Đồ thị \(y = \log_c x\) tăng chậm hơn đồ thị \(y = b^x\), do đó \(c < b\). Từ những phân tích trên, chúng ta có: \[ c < b < a \] Vậy khẳng định đúng là: A. \(c < b < a\) Đáp án: A. \(c < b < a\) Câu 32. Để giải phương trình $9^x - 18 \cdot 3^x + 27 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình này không chứa các yếu tố yêu cầu ĐKXĐ cụ thể, vì vậy ta có thể tiếp tục giải phương trình mà không cần thêm điều kiện nào khác. Bước 2: Biến đổi phương trình Ta nhận thấy rằng $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Do đó, phương trình trở thành: \[ (3^x)^2 - 18 \cdot 3^x + 27 = 0 \] Bước 3: Đặt ẩn phụ Gọi $y = 3^x$. Phương trình trở thành: \[ y^2 - 18y + 27 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Ta giải phương trình bậc hai $y^2 - 18y + 27 = 0$ bằng công thức nghiệm: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -18$, và $c = 27$. Thay vào công thức, ta có: \[ y = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 108}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{216}}{2} = \frac{18 \pm 6\sqrt{6}}{2} = 9 \pm 3\sqrt{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ y_1 = 9 + 3\sqrt{6}, \quad y_2 = 9 - 3\sqrt{6} \] Bước 5: Quay lại ẩn ban đầu Nhớ rằng $y = 3^x$, ta có: \[ 3^x = 9 + 3\sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad 3^x = 9 - 3\sqrt{6} \] Bước 6: Tìm nghiệm của phương trình Ta cần kiểm tra xem các giá trị trên có thỏa mãn điều kiện $3^x > 0$ hay không: - $9 + 3\sqrt{6} > 0$ luôn đúng. - $9 - 3\sqrt{6} > 0$ cũng luôn đúng vì $3\sqrt{6} < 9$. Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \log_3(9 + 3\sqrt{6}), \quad x_2 = \log_3(9 - 3\sqrt{6}) \] Bước 7: Tính tổng các nghiệm Tổng các nghiệm của phương trình là: \[ x_1 + x_2 = \log_3(9 + 3\sqrt{6}) + \log_3(9 - 3\sqrt{6}) \] Sử dụng tính chất của lôgarit $\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac)$, ta có: \[ x_1 + x_2 = \log_3((9 + 3\sqrt{6})(9 - 3\sqrt{6})) \] Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, ta có: \[ (9 + 3\sqrt{6})(9 - 3\sqrt{6}) = 9^2 - (3\sqrt{6})^2 = 81 - 54 = 27 \] Do đó: \[ x_1 + x_2 = \log_3(27) = \log_3(3^3) = 3 \] Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3. Đáp án: C. 3.