lim ( x tiến đến 1 ) căn 3x-1 -2 trên 2x^2 +3x -5

1. $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3x-1}-2}{2x^2+3x-5}$ Điều kiện xác định: $3x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$ Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3x-1}-2}{2x^2+3x-5} \] Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3x-1} + 2$ để loại bỏ căn thức ở tử số: \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{3x-1}-2)(\sqrt{3x-1}+2)}{(2x^2+3x-5)(\sqrt{3x-1}+2)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(3x-1)-4}{(2x^2+3x-5)(\sqrt{3x-1}+2)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x-5}{(2x^2+3x-5)(\sqrt{3x-1}+2)} \] Phân tích mẫu số: \[ 2x^2 + 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1) \] Thay vào: \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x-5}{(2x-5)(x+1)(\sqrt{3x-1}+2)} \] Khi $x \rightarrow 1$, ta có: \[ = \frac{3(1)-5}{(2(1)-5)(1+1)(\sqrt{3(1)-1}+2)} \] \[ = \frac{-2}{(-3)(2)(2+2)} \] \[ = \frac{-2}{-24} \] \[ = \frac{1}{12} \] Vậy: \[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3x-1}-2}{2x^2+3x-5} = \frac{1}{12} \] 2. $\lim_{x\rightarrow 5}\frac{x^2-3x-10}{5x^2+x+120}$ Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow 5}\frac{x^2-3x-10}{5x^2+x+120} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \] Thay vào: \[ = \lim_{x\rightarrow 5}\frac{(x-5)(x+2)}{5x^2+x+120} \] Khi $x \rightarrow 5$, ta có: \[ = \frac{(5-5)(5+2)}{5(5)^2 + 5 + 120} \] \[ = \frac{0 \cdot 7}{125 + 5 + 120} \] \[ = \frac{0}{250} \] \[ = 0 \] Vậy: \[ \lim_{x\rightarrow 5}\frac{x^2-3x-10}{5x^2+x+120} = 0 \] 3. $\lim_{x\rightarrow -2}\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+6}}{x^2-4}$ Điều kiện xác định: $2 - x \geq 0$ và $x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$ và $x \geq -6$ Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow -2}\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+6}}{x^2-4} \] Phân tích mẫu số: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Thay vào: \[ = \lim_{x\rightarrow -2}\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+6}}{(x-2)(x+2)} \] Khi $x \rightarrow -2$, ta có: \[ = \frac{\sqrt{2-(-2)}+\sqrt{-2+6}}{((-2)-2)((-2)+2)} \] \[ = \frac{\sqrt{4}+\sqrt{4}}{(-4)(0)} \] \[ = \frac{2+2}{0} \] \[ = \frac{4}{0} \] Vậy: \[ \lim_{x\rightarrow -2}\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+6}}{x^2-4} = \text{không tồn tại} \] 4. $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3x+1}-2}{2x^2+3x-5}$ Điều kiện xác định: $3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3}$ Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3x+1}-2}{2x^2+3x-5} \] Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3x+1} + 2$ để loại bỏ căn thức ở tử số: \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{3x+1}+2)}{(2x^2+3x-5)(\sqrt{3x+1}+2)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(3x+1)-4}{(2x^2+3x-5)(\sqrt{3x+1}+2)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x-3}{(2x^2+3x-5)(\sqrt{3x+1}+2)} \] Phân tích mẫu số: \[ 2x^2 + 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1) \] Thay vào: \[ = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{3(x-1)}{(2x-5)(x+1)(\sqrt{3x+1}+2)} \] Khi $x \rightarrow 1$, ta có: \[ = \frac{3(1-1)}{(2(1)-5)(1+1)(\sqrt{3(1)+1}+2)} \] \[ = \frac{0}{(-3)(2)(2+2)} \] \[ = \frac{0}{-24} \] \[ = 0 \] Vậy: \[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3x+1}-2}{2x^2+3x-5} = 0 \] 5. $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{4x-8}{3-\sqrt{2x+5}}$ Điều kiện xác định: $2x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{5}{2}$ Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{4x-8}{3-\sqrt{2x+5}} \] Nhân cả tử và mẫu với $3 + \sqrt{2x+5}$ để loại bỏ căn thức ở mẫu số: \[ = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(4x-8)(3+\sqrt{2x+5})}{(3-\sqrt{2x+5})(3+\sqrt{2x+5})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(4x-8)(3+\sqrt{2x+5})}{9-(2x+5)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(4x-8)(3+\sqrt{2x+5})}{4-2x} \] Phân tích tử số: \[ 4x - 8 = 4(x - 2) \] Thay vào: \[ = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{4(x-2)(3+\sqrt{2x+5})}{-2(x-2)} \] Khi $x \rightarrow 2$, ta có: \[ = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{4(3+\sqrt{2x+5})}{-2} \] \[ = \frac{4(3+\sqrt{2(2)+5})}{-2} \] \[ = \frac{4(3+\sqrt{9})}{-2} \] \[ = \frac{4(3+3)}{-2} \] \[ = \frac{4 \cdot 6}{-2} \] \[ = \frac{24}{-2} \] \[ = -12 \] Vậy: \[ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{4x-8}{3-\sqrt{2x+5}} = -12 \]