giải hộ mình ạ

Câu 3. Để xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm cạnh của hình vuông nội tiếp trong đường tròn: - Đường tròn có bán kính \( r = 20 \) cm. - Hình vuông nội tiếp trong đường tròn sẽ có đường chéo bằng đường kính của đường tròn, tức là \( 2r = 40 \) cm. - Cạnh của hình vuông nội tiếp là \( a \), và ta có: \[ a\sqrt{2} = 40 \implies a = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 \text{ cm} \] 2. Diện tích mặt cắt ngang của thanh dầm: - Diện tích hình vuông nội tiếp là: \[ S_{vuông} = a^2 = (20\sqrt{2})^2 = 800 \text{ cm}^2 \] 3. Tìm diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván: - Mỗi tấm ván có hình dạng là một hình chữ nhật nằm trong phần còn lại của đường tròn sau khi cắt thanh dầm. - Để tối đa hóa diện tích mặt cắt ngang của mỗi tấm ván, ta cần tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nằm trong phần còn lại của đường tròn. - Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là \( l \) và \( w \), thì diện tích \( S \) của hình chữ nhật là: \[ S = l \times w \] - Ta cần tối đa hóa \( S \) trong phạm vi giới hạn bởi đường tròn và hình vuông đã cắt ra. 4. Áp dụng phương pháp đạo hàm để tối ưu hóa diện tích: - Gọi \( x \) là khoảng cách từ tâm đường tròn đến một đỉnh của hình chữ nhật. - Chiều dài \( l \) và chiều rộng \( w \) của hình chữ nhật sẽ phụ thuộc vào \( x \): \[ l = 2\sqrt{r^2 - x^2}, \quad w = 2x \] - Diện tích \( S \) của hình chữ nhật là: \[ S = l \times w = 2\sqrt{r^2 - x^2} \times 2x = 4x\sqrt{r^2 - x^2} \] - Đạo hàm \( S \) theo \( x \) và tìm giá trị \( x \) tối ưu: \[ \frac{dS}{dx} = 4\left(\sqrt{r^2 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}\right) = 4\left(\frac{r^2 - 2x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}\right) \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực đại: \[ \frac{r^2 - 2x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} = 0 \implies r^2 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{r^2}{2} \implies x = \frac{r}{\sqrt{2}} \] - Thay \( x = \frac{r}{\sqrt{2}} \) vào công thức diện tích: \[ l = 2\sqrt{r^2 - \left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = 2\sqrt{\frac{r^2}{2}} = 2 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2} \] \[ w = 2 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2} \] \[ S = l \times w = (r\sqrt{2}) \times (r\sqrt{2}) = 2r^2 = 2 \times 20^2 = 800 \text{ cm}^2 \] 5. Kết luận: - Diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván là 800 cm². Đáp số: 800 cm².