Giải chi tiết từng câu

Câu 5. Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;2;-3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) có tọa độ là \( (1;2;0) \). Lý do: - Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình là \( z = 0 \). - Khi hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \), tọa độ \( z \) của điểm đó sẽ là 0, còn các tọa độ \( x \) và \( y \) giữ nguyên. Vậy đáp án đúng là: C. \( (1;2;0) \). Câu 6. Hình chiếu vuông góc của điểm \( M(2;1;-1) \) trên mặt phẳng \( (Ozx) \) có tọa độ là: - Mặt phẳng \( (Ozx) \) có phương trình là \( y = 0 \). - Để tìm hình chiếu của điểm \( M(2;1;-1) \) trên mặt phẳng \( (Ozx) \), ta giữ nguyên tọa độ \( x \) và \( z \), và đặt \( y = 0 \). Do đó, hình chiếu của điểm \( M(2;1;-1) \) trên mặt phẳng \( (Ozx) \) là \( (2;0;-1) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (2;0;-1) \). Câu 7. Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;2;5) \) trên trục \( Ox \) là điểm có tọa độ \( (x;0;0) \). - Tọa độ \( x \) giữ nguyên là 1. - Tọa độ \( y \) và \( z \) đều là 0 vì hình chiếu nằm trên trục \( Ox \). Do đó, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) trên trục \( Ox \) là \( (1;0;0) \). Đáp án đúng là: B. \( (1;0;0) \). Câu 8. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3; -1; 1) \) trên trục Oz là điểm có tọa độ \((0; 0; z)\), trong đó \( z \) là phần tọa độ z của điểm \( M \). Bước 1: Xác định tọa độ z của điểm \( M \): - Tọa độ của điểm \( M \) là \( (3; -1; 1) \), do đó tọa độ z của điểm \( M \) là 1. Bước 2: Xác định tọa độ của hình chiếu vuông góc: - Hình chiếu vuông góc của điểm \( M \) trên trục Oz sẽ có tọa độ \((0; 0; 1)\). Vậy hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3; -1; 1) \) trên trục Oz có tọa độ là \((0; 0; 1)\). Đáp án đúng là: A. \((0; 0; 1)\). Câu 9. Để tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm \( A(1;2;3) \) qua mặt phẳng \( (Oxz) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về tính chất đối xứng qua mặt phẳng \( (Oxz) \): - Mặt phẳng \( (Oxz) \) là mặt phẳng chứa các trục \( Ox \) và \( Oz \). - Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng \( (Oxz) \) sẽ có cùng tọa độ \( x \) và \( z \), nhưng tọa độ \( y \) sẽ đổi dấu. 2. Áp dụng tính chất trên vào điểm \( A(1;2;3) \): - Tọa độ \( x \) của điểm \( A \) là 1, giữ nguyên. - Tọa độ \( y \) của điểm \( A \) là 2, đổi dấu thành -2. - Tọa độ \( z \) của điểm \( A \) là 3, giữ nguyên. 3. Tính toán tọa độ điểm đối xứng: - Tọa độ của điểm đối xứng với \( A \) qua mặt phẳng \( (Oxz) \) là \( (1; -2; 3) \). Vậy đáp án đúng là: A. \( (1; -2; 3) \) Đáp số: A. \( (1; -2; 3) \) Câu 10. Để tìm tọa độ điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), và \(\overrightarrow{MC}\): Giả sử tọa độ của điểm \( M \) là \( (x, y, z) \). \[ \overrightarrow{MA} = A - M = (1 - x, 1 - y, 1 - z) \] \[ \overrightarrow{MB} = B - M = (5 - x, -1 - y, 2 - z) \] \[ \overrightarrow{MC} = C - M = (3 - x, 2 - y, -4 - z) \] 2. Thay vào phương trình đã cho: \[ \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] Thay các vectơ vào phương trình: \[ (1 - x, 1 - y, 1 - z) + 2(5 - x, -1 - y, 2 - z) - (3 - x, 2 - y, -4 - z) = (0, 0, 0) \] 3. Tính toán từng thành phần: \[ (1 - x, 1 - y, 1 - z) + (10 - 2x, -2 - 2y, 4 - 2z) - (3 - x, 2 - y, -4 - z) = (0, 0, 0) \] Cộng các thành phần tương ứng: \[ (1 - x + 10 - 2x - 3 + x, 1 - y - 2 - 2y - 2 + y, 1 - z + 4 - 2z + 4 + z) = (0, 0, 0) \] Rút gọn: \[ (8 - 2x, -3 - 2y, 9 - 2z) = (0, 0, 0) \] 4. Giải hệ phương trình: \[ 8 - 2x = 0 \implies x = 4 \] \[ -3 - 2y = 0 \implies y = -\frac{3}{2} \] \[ 9 - 2z = 0 \implies z = \frac{9}{2} \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( (4, -\frac{3}{2}, \frac{9}{2}) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( M(4; -\frac{3}{2}; \frac{9}{2}) \). Câu 10. Để xác định xem có thể lập một hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BB'}$ không, ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của ba vectơ này. 1. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{BA}$ đi từ B đến A, tức là nó nằm trên mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với $\overrightarrow{BC}$. - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ đi từ B đến C, tức là nó nằm trên mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với $\overrightarrow{BA}$. - Vectơ $\overrightarrow{BB'}$ đi từ B đến B', tức là nó vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$. Do đó, ba vectơ $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BB'}$ là độc lập tuyến tính và tạo thành một hệ cơ sở cho không gian 3 chiều. 2. Lập hệ tọa độ Oxyz: - Gốc O trùng với đỉnh B'. - Trục Ox hướng theo vectơ $\overrightarrow{BA}$. - Trục Oy hướng theo vectơ $\overrightarrow{BC}$. - Trục Oz hướng theo vectơ $\overrightarrow{BB'}$. Vậy, ta có thể lập một hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BB'}$. Câu 11. Trước tiên, ta xác định các đỉnh của hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' trong hệ tọa độ Oxyz. - Điểm O là gốc tọa độ, có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm A nằm trên trục Ox, có tọa độ (a, 0, 0). - Điểm C nằm trên trục Oy, có tọa độ (0, b, 0). - Điểm B là giao điểm của các mặt phẳng qua A, C và O', có tọa độ (a, b, 0). - Điểm O' nằm trên trục Oz, có tọa độ (0, 0, c). - Điểm A' là giao điểm của các mặt phẳng qua A, O' và B, có tọa độ (a, 0, c). - Điểm C' là giao điểm của các mặt phẳng qua C, O' và B, có tọa độ (0, b, c). - Điểm B' là giao điểm của các mặt phẳng qua B, O' và A', có tọa độ (a, b, c). Bây giờ, ta sẽ lập luận từng bước để xác định tọa độ của các đỉnh: 1. Điểm O: Gốc tọa độ, tọa độ là (0, 0, 0). 2. Điểm A: Nằm trên trục Ox, tọa độ là (a, 0, 0). 3. Điểm C: Nằm trên trục Oy, tọa độ là (0, b, 0). 4. Điểm B: Là giao điểm của các mặt phẳng qua A, C và O', tọa độ là (a, b, 0). 5. Điểm O': Nằm trên trục Oz, tọa độ là (0, 0, c). 6. Điểm A': Là giao điểm của các mặt phẳng qua A, O' và B, tọa độ là (a, 0, c). 7. Điểm C': Là giao điểm của các mặt phẳng qua C, O' và B, tọa độ là (0, b, c). 8. Điểm B': Là giao điểm của các mặt phẳng qua B, O' và A', tọa độ là (a, b, c). Tóm lại, các tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' là: - O(0, 0, 0) - A(a, 0, 0) - C(0, b, 0) - B(a, b, 0) - O'(0, 0, c) - A'(a, 0, c) - C'(0, b, c) - B'(a, b, c) Đáp số: - O(0, 0, 0) - A(a, 0, 0) - C(0, b, 0) - B(a, b, 0) - O'(0, 0, c) - A'(a, 0, c) - C'(0, b, c) - B'(a, b, c)