giúp mình với

Câu 36: Để tính $|\overrightarrow a + \overrightarrow b|$, ta sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + |\overrightarrow b|^2 + 2 |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos(\theta) \] Trong đó: - \( |\overrightarrow a| = 2 \) - \( |\overrightarrow b| = \sqrt{3} \) - \( (\overrightarrow a, \overrightarrow b) = 30^\circ \) Bước 1: Tính \( |\overrightarrow a|^2 \): \[ |\overrightarrow a|^2 = 2^2 = 4 \] Bước 2: Tính \( |\overrightarrow b|^2 \): \[ |\overrightarrow b|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \] Bước 3: Tính \( 2 |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos(30^\circ) \): \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ 2 |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos(30^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 6 \] Bước 4: Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = 4 + 3 + 6 = 13 \] Bước 5: Tính \( |\overrightarrow a + \overrightarrow b| \): \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b| = \sqrt{13} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\sqrt{13}$. Câu 37: Để xác định khẳng định nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $1.\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$ - Đây là khẳng định đúng vì nhân một vector với 1 không làm thay đổi vector đó. B. $k\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng khi $k > 0$ - Đây là khẳng định đúng vì khi nhân một vector với một số dương, hướng của vector không thay đổi. C. Hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ cùng phương khi có một số $k$ để $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ - Đây là khẳng định đúng vì hai vector cùng phương nếu một trong hai vector là bội của vector còn lại. D. $k\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng khi $k < 0$ - Đây là khẳng định sai vì khi nhân một vector với một số âm, hướng của vector sẽ ngược lại. Vậy khẳng định sai là: D. $k\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng khi $k < 0$. Câu 38: Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AC} \] Áp dụng công thức cộng vectơ: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \] Biết rằng: \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \] Thay vào ta có: \[ \overrightarrow{BA} = -(-3\overrightarrow{AC}) = 3\overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AC} \] Vậy đẳng thức đúng là: D. $\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{AC}$ Câu 39: Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$, ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\widehat{B}) \] Trước tiên, ta cần tìm góc $\widehat{B}$. Ta biết rằng trong tam giác $ABC$, góc $\widehat{A} = 60^\circ$. Ta sẽ sử dụng định lý cosin để tìm góc $\widehat{B}$. Theo định lý cosin: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{A}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AC^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(60^\circ) \] \[ AC^2 = a^2 + 4a^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = a^2 + 4a^2 - 2a^2 \] \[ AC^2 = 3a^2 \] \[ AC = a\sqrt{3} \] Bây giờ, ta sử dụng định lý cosin một lần nữa để tìm góc $\widehat{B}$: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ 3a^2 = a^2 + 4a^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ 3a^2 = 5a^2 - 4a^2 \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ 3a^2 - 5a^2 = -4a^2 \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ -2a^2 = -4a^2 \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ \cos(\widehat{B}) = \frac{1}{2} \] Do đó, góc $\widehat{B} = 60^\circ$. Bây giờ, ta tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = a \cdot 2a \cdot \cos(60^\circ) \] \[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 2a^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = a^2 \] Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = a^2$. Câu 40: Để tính $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b)$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b) = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|} \] Ta đã biết: - $|\overrightarrow a| = 8$ - $|\overrightarrow b| = 5$ - $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 16$ Thay các giá trị này vào công thức: \[ \cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b) = \frac{16}{8 \times 5} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b) = \frac{2}{5}$. Câu 41: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình vuông ABCD, các cạnh AB và AD là hai cạnh kề nhau và AC là đường chéo của hình vuông. Bước 1: Xác định độ dài của các véctơ: - Độ dài của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là a. - Độ dài của véctơ $\overrightarrow{AD}$ là a. - Độ dài của véctơ $\overrightarrow{AC}$ là $a\sqrt{2}$ (vì AC là đường chéo của hình vuông cạnh a). Bước 2: Tính tổng các véctơ: - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AC}$. - Biểu thức này có thể viết thành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 2(a\sqrt{2})$. Bước 3: Áp dụng tính chất hình học: - Trong hình vuông, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ sẽ tạo thành véctơ $\overrightarrow{AC}$ (vì AB và AD là hai cạnh kề nhau và AC là đường chéo). - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. Bước 4: Thay vào biểu thức: - Biểu thức trở thành: $\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AC}$. - Độ dài của $\overrightarrow{AC}$ là $a\sqrt{2}$, vậy độ dài của $3\overrightarrow{AC}$ là $3 \times a\sqrt{2} = 3a\sqrt{2}$. Vậy độ dài của véctơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AC}$ là $3a\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: B. $3a\sqrt{2}$. Câu 42: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã biết: - Tam giác ABC có $\widehat{A} = 90^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$ và $AB = a$. - Do $\widehat{A} = 90^\circ$, tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - Do $\widehat{B} = 60^\circ$, suy ra $\widehat{C} = 30^\circ$ (vì tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$). Ta cần tính $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}$. Bước 1: Xác định độ dài các cạnh của tam giác ABC. - Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có góc $\widehat{B} = 60^\circ$, nên nó là tam giác vuông cân đặc biệt với các tỉ lệ cạnh là $1 : \sqrt{3} : 2$. - Do đó, ta có: - $BC = 2a$ (cạnh huyền) - $AC = a\sqrt{3}$ (cạnh đối góc 60°) Bước 2: Xác định các vector. - Vector $\overrightarrow{AC}$ có độ dài là $a\sqrt{3}$ và hướng từ A đến C. - Vector $\overrightarrow{CB}$ có độ dài là $2a$ và hướng từ C đến B. Bước 3: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}$. - Công thức tính tích vô hướng của hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)$, trong đó $\theta$ là góc giữa hai vector. - Góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ là $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. - Do đó, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = |AC| \cdot |CB| \cdot \cos(120^\circ) = a\sqrt{3} \cdot 2a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -a^2 \cdot \sqrt{3} \] Vậy $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = -3a^2$. Đáp án đúng là: D. $-3a^2$. Câu 43: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC vuông tại A với AB = a và AC = a√3. - AM là trung tuyến, tức M là trung điểm của BC. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxy (với A là gốc tọa độ): - A(0, 0) - B(a, 0) - C(0, a√3) Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M (trung điểm của BC): - Tọa độ của M là: \[ M \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}}{2} \right) = M \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \] Bước 3: Xác định các vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{BA}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{BA} = (0 - a, 0 - 0) = (-a, 0) \] - Vectơ \(\overrightarrow{AM}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{AM} = \left( \frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \] Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{BA} . \overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{AM} = (-a) \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = -\frac{a^2}{2} \] Vậy đáp án đúng là: D. $-\frac{a^2}{2}$. Câu 44: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Tam giác \( \Delta ABC \) đều với cạnh \( AB = 6 \). - \( M \) là trung điểm của \( BC \). Ta cần tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MA} \). Bước 1: Xác định các vectơ. - \( \overrightarrow{AB} \) là vectơ từ \( A \) đến \( B \). - \( \overrightarrow{MA} \) là vectơ từ \( M \) đến \( A \). Bước 2: Xác định độ dài các cạnh và khoảng cách. - Vì \( \Delta ABC \) đều, nên \( AB = BC = CA = 6 \). - \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Bước 3: Xác định góc giữa hai vectơ. - Góc giữa \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{MA} \) là góc \( \angle BAM \). - Trong tam giác đều, góc \( \angle BAC = 60^\circ \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( AM \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( BC \), tạo thành hai tam giác vuông cân \( \Delta ABM \) và \( \Delta ACM \). - Do đó, góc \( \angle BAM = 30^\circ \). Bước 4: Tính tích vô hướng. - Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \) là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] - Ở đây, \( |\overrightarrow{AB}| = 6 \) và \( |\overrightarrow{MA}| = 3\sqrt{3} \) (do \( AM \) là đường cao trong tam giác đều, \( AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \)). - Góc giữa chúng là \( \theta = 150^\circ \) (vì \( \angle BAM = 30^\circ \) và \( \overrightarrow{MA} \) ngược chiều với \( \overrightarrow{AM} \)). Do đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MA} = 6 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ) \] Biết rằng \( \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MA} = 6 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = -27 \] Vậy đáp án đúng là: D. -27 Câu 45: Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ liên quan trong hình thang ABCD. - Điểm A là đỉnh chung của hai cạnh vuông AB và AD. - Điểm B nằm trên cạnh AB. - Điểm D nằm trên cạnh AD. - Điểm C nằm trên cạnh CD. Ta có: - $\overrightarrow{AB} = \vec{i}$ - $\overrightarrow{AD} = \vec{j}$ - $\overrightarrow{DC} = 2\vec{i}$ Từ đó, ta có thể xác định các vectơ khác: - $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{i} + 2\vec{i} = 3\vec{i}$ - $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\vec{i} + \vec{j}$ Bây giờ, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = (3\vec{i}).(-\vec{i} + \vec{j}) = 3(\vec{i}.(-\vec{i})) + 3(\vec{i}.\vec{j}) \] Biết rằng $\vec{i}.\vec{i} = 1$ và $\vec{i}.\vec{j} = 0$, ta có: \[ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 3(-1) + 3(0) = -3 \] Vậy tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$ là $-3$.