trả lời trách nghiệm

Câu 1: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Hàm số được coi là nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó. Bảng biến thiên cho thấy: - Trên khoảng $(-\infty; -1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1; 0)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(0; 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$. Trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $(1; +\infty)$ nằm trong các khoảng nghịch biến của hàm số. Vậy đáp án đúng là: A. $(1; +\infty)$. Câu 2: Để xác định hàm số nào trong các lựa chọn có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số và tìm điểm cực trị nếu có. A. \( y = x^3 + 1 \) Tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 \] Đạo hàm \( y' = 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \). Do đó, hàm số này không có cực trị. B. \( y = x^3 + 3x^2 + 2 \) Tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 + 6x \] \[ y' = 3x(x + 2) \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < -2 \), \( y' > 0 \) - Khi \( -2 < x < 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( x = -2 \) và cực tiểu tại \( x = 0 \). C. \( y = 3x + 4 \) Tính đạo hàm: \[ y' = 3 \] Đạo hàm \( y' = 3 \) là hằng số dương, do đó hàm số này không có cực trị. D. \( y = \frac{2x - 1}{3x + 2} \) Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2)(3x + 2) - (2x - 1)(3)}{(3x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{6x + 4 - 6x + 3}{(3x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{7}{(3x + 2)^2} \] Đạo hàm \( y' = \frac{7}{(3x + 2)^2} > 0 \) với mọi \( x \neq -\frac{2}{3} \). Do đó, hàm số này không có cực trị. Kết luận: Hàm số có cực trị là \( y = x^3 + 3x^2 + 2 \). Đáp án đúng là: B. \( y = x^3 + 3x^2 + 2 \). Câu 3: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -2$, hàm số giảm dần. - Tại điểm $x = -2$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $-3$. - Khi $x$ tăng từ $x = -2$ đến $x = 2$, hàm số tăng dần. - Tại điểm $x = 2$, hàm số đạt giá trị cực đại là $5$. - Khi $x$ tăng từ $x = 2$ đến $+\infty$, hàm số giảm dần. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$, đạt được khi $x = -2$. Vậy đáp án đúng là: C. -3. Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị và biên của đoạn: - Các điểm cực trị của hàm số từ đồ thị là \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 3 \). 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - Tại \( x = -1 \): \( f(-1) = 1 \) - Tại \( x = 1 \): \( f(1) = -3 \) - Tại \( x = 3 \): \( f(3) = -1 \) 3. So sánh các giá trị để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất (M) là \( f(-1) = 1 \) - Giá trị nhỏ nhất (m) là \( f(1) = -3 \) 4. Tính tổng \( M + m \): \[ M + m = 1 + (-3) = -2 \] Vậy giá trị của \( M + m \) là \(-2\). Đáp án đúng là D. -2. Câu 5: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) có mẫu số là \( x - 1 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \neq 1 \). 2. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) là các đường thẳng \( x = a \) sao cho khi \( x \) tiến đến \( a \), giá trị của \( y \) tiến đến vô cùng (\( \pm \infty \)). Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 1 từ hai phía: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{x - 1} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x + 1}{x - 1} = -\infty \] Từ đó, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến 1 từ cả hai phía, giá trị của \( y \) tiến đến vô cùng. Do đó, đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: B. \( x = 1 \). Câu 6: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần dựa vào các giới hạn đã cho để xác định các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 1. Giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} y = 3 \] Điều này cho thấy khi \( x \) tiến đến dương vô cùng, giá trị của \( y \) tiến đến 3. Do đó, đường thẳng \( y = 3 \) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2. Giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} y = -3 \] Điều này cho thấy khi \( x \) tiến đến âm vô cùng, giá trị của \( y \) tiến đến -3. Do đó, đường thẳng \( y = -3 \) cũng là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Từ hai giới hạn trên, chúng ta có thể kết luận rằng đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \( y = 3 \) và \( y = -3 \). Do đó, mệnh đề đúng là: A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \( y = 3 \) và \( y = -3 \). Câu 7: Để xác định hệ thức đúng giữa các vectơ liên quan đến ba điểm A, B, và C, ta sẽ kiểm tra từng phương án một. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$ Theo quy tắc tam giác trong đại lượng vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] Nhưng ở đây, ta có $\overrightarrow{CB}$ thay vì $\overrightarrow{BC}$. Do đó, phương án này không đúng. B. $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}$ Ta có thể viết lại $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BA}$ như sau: \[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AC} - (-\overrightarrow{AB}) = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \] Theo quy tắc tam giác: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \] Vậy phương án này đúng. C. $AB + BC = AC$ Đây là quy tắc tam giác về độ dài đoạn thẳng, nhưng nó không đúng trong mọi trường hợp. Chỉ đúng khi ba điểm thẳng hàng và C nằm giữa A và B. Vì vậy, phương án này không đúng trong mọi trường hợp. D. $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}$ Ta có thể viết lại $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BA}$ như sau: \[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{AB}) = -(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) \] Theo quy tắc tam giác: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CB} \] Vậy phương án này không đúng. Kết luận: Phương án đúng là B. $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}$.