trả lời trắc nghiệm và đúng sai

Câu 8: Công thức đúng là: A. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ Lập luận từng bước: - Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được định nghĩa là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta)$, trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. - Do đó, công thức đúng là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ Câu 9: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, và $\overrightarrow{AA'}$ đại diện cho các cạnh của hình hộp. Ta cần tìm tổng của ba vectơ này để xác định vectơ nào trong các lựa chọn là đúng. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Theo quy tắc cộng vectơ trong không gian, ta có thể sử dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc tam giác để cộng các vectơ này. Cụ thể, ta có thể vẽ các vectơ liên tiếp từ điểm A đến điểm B, từ điểm B đến điểm D', và từ điểm D' đến điểm C'. Khi đó, ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Do đó, khẳng định đúng là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Đáp án: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Câu 10: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; 3; -3)$ và $\overrightarrow{v} = (-3; -2; 4)$, ta thực hiện theo công thức sau: Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1; v_2; v_3)$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 \] Áp dụng vào bài toán: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) + (-3) \cdot 4 \] Ta thực hiện từng phép nhân: \[ 2 \cdot (-3) = -6 \] \[ 3 \cdot (-2) = -6 \] \[ (-3) \cdot 4 = -12 \] Cộng các kết quả lại: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -6 + (-6) + (-12) = -6 - 6 - 12 = -24 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là -24. Đáp án đúng là: D. -24. Câu 11: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Trong bảng đã cho: - Nhóm đầu tiên là $[a_1; a_2)$ với tần số $n_1$. - Nhóm cuối cùng là $[a_m; a_{m+1})$ với tần số $n_m$. Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $a_1$ (giá trị đầu tiên của nhóm đầu tiên). Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $a_{m+1}$ (giá trị cuối cùng của nhóm cuối cùng). Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ a_{m+1} - a_1 \] Vậy đáp án đúng là: A. $a_{m+1} - a_1$. Câu 12: Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu là căn bậc hai của phương sai của mẫu số liệu đó. Phương sai của mẫu số liệu đã cho là 16. Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là: \[ \sqrt{16} = 4 \] Vậy đáp án đúng là: A. 4 Đáp số: A. 4 Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Đạo hàm của hàm số đã cho: Hàm số đã cho là \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] b) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bây giờ, chúng ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) trong các khoảng: - Khi \( x < 0 \), chọn \( x = -1 \): \[ y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 0) \). - Khi \( 0 < x < 2 \), chọn \( x = 1 \): \[ y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \] Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \). - Khi \( x > 2 \), chọn \( x = 3 \): \[ y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (2, +\infty) \). Tóm lại: - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \). c) Bảng biến thiên của hàm số: Bảng biến thiên của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \): | \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | |---------|---------------|---------|---------|---------------| | \( y' \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( + \) | | \( y \) | \( -\infty \) | \( 2 \) | \( -2 \)| \( +\infty \) | d) Đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) sẽ có dạng như sau: - Điểm cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 2 \). - Điểm cực tiểu tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = -2 \). e) Lập luận về dung dịch muối: Giả sử thêm vào dung dịch 200 gam muối nồng độ 15% một lượng x (gam) muối tinh khiết, ta có tổng khối lượng dung dịch mới là \( 200 + x \) gam. Lượng muối ban đầu trong dung dịch là: \[ 200 \times 0.15 = 30 \text{ gam} \] Sau khi thêm x gam muối tinh khiết, tổng lượng muối trong dung dịch mới là: \[ 30 + x \text{ gam} \] Nồng độ mới của dung dịch là: \[ f(x) = \frac{30 + x}{200 + x} \times 100 \% \] Đáp số: a) Đạo hàm của hàm số là \( y' = 3x^2 - 6x \). b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \); nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \). c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho. d) Đồ thị hàm số đã cho. e) Nồng độ mới của dung dịch là \( f(x) = \frac{30 + x}{200 + x} \times 100 \% \).