Mọi người giúp mình với

a) Tọa độ điểm H(0;5;3). - Điểm H nằm trên trục Oy và Oz, do đó tọa độ x của H là 0. - Điểm H cách gốc O một đoạn 5 đơn vị theo trục Oy, do đó tọa độ y của H là 5. - Điểm H cách gốc O một đoạn 3 đơn vị theo trục Oz, do đó tọa độ z của H là 3. b) Diện tích ngôi nhà là 12 m². - Diện tích ngôi nhà bao gồm diện tích nền nhà và diện tích bốn bức tường. - Nền nhà là hình chữ nhật với chiều dài 4 m và chiều rộng 3 m, diện tích nền nhà là: \[ 4 \times 3 = 12 \text{ m}^2 \] - Bốn bức tường cũng là hình chữ nhật, mỗi bức tường có diện tích là: \[ 4 \times 3 = 12 \text{ m}^2 \] - Tổng diện tích bốn bức tường là: \[ 4 \times 12 = 48 \text{ m}^2 \] - Diện tích ngôi nhà tổng cộng là: \[ 12 + 48 = 60 \text{ m}^2 \] c) Hình chiếu vuông góc K của điểm Q xuống nền nhà có tọa độ K(2;5;0). - Điểm Q có tọa độ (2;5;3). - Khi hạ hình chiếu vuông góc từ điểm Q xuống nền nhà, tọa độ z của điểm K sẽ là 0. - Do đó, tọa độ của điểm K là (2;5;0). d) Thể tích phần không gian của ngôi nhà bằng 60 m³. - Thể tích ngôi nhà là tích của diện tích nền nhà và chiều cao của ngôi nhà. - Diện tích nền nhà là 12 m². - Chiều cao của ngôi nhà là 5 m. - Thể tích ngôi nhà là: \[ 12 \times 5 = 60 \text{ m}^3 \] Đáp số: a) Tọa độ điểm H(0;5;3). b) Diện tích ngôi nhà là 60 m². c) Tọa độ điểm K(2;5;0). d) Thể tích phần không gian của ngôi nhà là 60 m³. Câu 4. a) Cỡ mẫu số liệu của hai lớp là: - Số học sinh lớp 12A: 5 + 7 + 12 + 10 + 6 = 40 - Số học sinh lớp 12B: 3 + 5 + 8 + 2 + 12 = 30 - Tổng số học sinh của cả hai lớp: 40 + 30 = 70 b) Bảng thống kê thời gian tập thể dục theo giá trị đại diện là: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60) \\ \hline \text{Giá trị đại diện} & 15 & 25 & 35 & 45 & 55 \\ \hline \text{Số học sinh lớp 12A} & 5 & 7 & 12 & 10 & 6 \\ \hline \text{Số học sinh lớp 12B} & 3 & 5 & 8 & 2 & 12 \\ \hline \end{array} \] c) Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12A lớn hơn thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12B: - Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12A: \[ \bar{x}_{12A} = \frac{(15 \times 5) + (25 \times 7) + (35 \times 12) + (45 \times 10) + (55 \times 6)}{40} = \frac{75 + 175 + 420 + 450 + 330}{40} = \frac{1450}{40} = 36.25 \text{ phút} \] - Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12B: \[ \bar{x}_{12B} = \frac{(15 \times 3) + (25 \times 5) + (35 \times 8) + (45 \times 2) + (55 \times 12)}{30} = \frac{45 + 125 + 280 + 90 + 660}{30} = \frac{1200}{30} = 40 \text{ phút} \] - So sánh: 36.25 < 40, nên thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12A nhỏ hơn thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12B. d) Phương sai của mẫu số liệu học sinh lớp 12A là 150,9075 và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu học sinh lớp 12B là 14,083: - Phương sai của mẫu số liệu học sinh lớp 12A: \[ s_{12A}^2 = 150,9075 \] - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu học sinh lớp 12B: \[ s_{12B} = 14,083 \] Đáp số: a) Cỡ mẫu số liệu của hai lớp là 70. b) Bảng thống kê thời gian tập thể dục theo giá trị đại diện đã được lập ở trên. c) Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12A nhỏ hơn thời gian tập thể dục trung bình của học sinh lớp 12B. d) Phương sai của mẫu số liệu học sinh lớp 12A là 150,9075 và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu học sinh lớp 12B là 14,083. Câu 1: Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số quả xoài: Tổng số quả xoài là 50. 2. Tìm vị trí của tử phân vị: Tử phân vị là giá trị chia dãy số thành 4 phần bằng nhau. Do đó, mỗi phần sẽ có: \[ \frac{50}{4} = 12.5 \] Vậy, tử phân vị nằm ở vị trí thứ 12.5 trong dãy số. 3. Xác định khoảng chứa tử phân vị: - Nhóm [250; 290) có 3 quả xoài. - Nhóm [290; 330) có 13 quả xoài. - Nhóm [330; 370) có 18 quả xoài. - Nhóm [370; 410) có 11 quả xoài. - Nhóm [410; 450) có 5 quả xoài. Tổng số quả xoài từ nhóm đầu tiên đến nhóm thứ hai là: \[ 3 + 13 = 16 \] Vì 12.5 nằm trong khoảng từ 3 đến 16, nên tử phân vị nằm trong nhóm [290; 330). 4. Áp dụng công thức tính tử phân vị: Công thức để tính tử phân vị trong nhóm là: \[ Q_1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_{L}}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 290). - \( n \) là tổng số quả xoài (50). - \( F_{L} \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 3). - \( f \) là tần số của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 13). - \( w \) là khoảng rộng của nhóm (ở đây là 40). Thay các giá trị vào công thức: \[ Q_1 = 290 + \left( \frac{12.5 - 3}{13} \right) \times 40 \] \[ Q_1 = 290 + \left( \frac{9.5}{13} \right) \times 40 \] \[ Q_1 = 290 + 0.7308 \times 40 \] \[ Q_1 = 290 + 29.232 \] \[ Q_1 \approx 319.23 \] Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng từ 290 đến 330, và giá trị cụ thể của tử phân vị là khoảng 319.23 g (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Câu 2: Để hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)$ và $\overrightarrow{v} = (1; 0; m)$ tạo với nhau một góc $60^\circ$, ta cần tính tích vô hướng của chúng và so sánh với công thức tính góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Phương pháp tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trong đó, $\theta = 60^\circ$, do đó $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Tính độ dài của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Thay vào công thức: \[ \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ \left( \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \] \[ \frac{(1 - 2m)^2}{6(1 + m^2)} = \frac{1}{4} \] Nhân cả hai vế với $24(1 + m^2)$ để loại bỏ mẫu số: \[ 4(1 - 2m)^2 = 6(1 + m^2) \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 4(1 - 4m + 4m^2) = 6 + 6m^2 \] \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6 + 6m^2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 16m^2 - 6m^2 - 16m + 4 - 6 = 0 \] \[ 10m^2 - 16m - 2 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 5m^2 - 8m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 5} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm 2\sqrt{21}}{10} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{21}}{5} \] Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là: \[ S = \left\{ \frac{4 + \sqrt{21}}{5}, \frac{4 - \sqrt{21}}{5} \right\} \] Số phần tử của S là 2. Đáp số: 2 Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 9x + 1 \). 2. Xác định tọa độ của các điểm cực trị. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 4. So sánh với phương trình \( ax + by + 4 = 0 \) để tìm \( a \) và \( b \). 5. Tính \( a + 2b \). Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 9x + 1 \). Đạo hàm của hàm số: \[ y' = -3x^2 + 6x + 9 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cực trị. - Khi \( x = 3 \): \[ y = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28 \] Điểm cực trị thứ nhất là \( (3, 28) \). - Khi \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4 \] Điểm cực trị thứ hai là \( (-1, -4) \). Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \( (3, 28) \) và \( (-1, -4) \). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (x_1, y_1) \) và \( (x_2, y_2) \) là: \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \] Thay vào: \[ \frac{y - 28}{-4 - 28} = \frac{x - 3}{-1 - 3} \] \[ \frac{y - 28}{-32} = \frac{x - 3}{-4} \] \[ \frac{y - 28}{8} = x - 3 \] \[ y - 28 = 8(x - 3) \] \[ y - 28 = 8x - 24 \] \[ y = 8x + 4 \] Bước 4: So sánh với phương trình \( ax + by + 4 = 0 \). Phương trình \( y = 8x + 4 \) có thể viết lại thành: \[ 8x - y + 4 = 0 \] So sánh với \( ax + by + 4 = 0 \), ta có: \[ a = 8 \quad \text{và} \quad b = -1 \] Bước 5: Tính \( a + 2b \). \[ a + 2b = 8 + 2(-1) = 8 - 2 = 6 \] Vậy \( a + 2b = 6 \).