🚔🚔🚔🚔🚔🚔🚔🚔🚔🚔

Câu 11. Để tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1} \right)' = \frac{(x^2 - 3x + 5)'(x + 1) - (x^2 - 3x + 5)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 5)}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x - 5}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: \[ y' = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: Đạo hàm không xác định tại \( x = -1 \) vì mẫu số bằng 0. Ta xét dấu của đạo hàm trên các khoảng: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, -1) \), \( (-1, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -4) \): Chọn \( x = -5 \): \[ y' = \frac{(-5)^2 + 2(-5) - 8}{(-5 + 1)^2} = \frac{25 - 10 - 8}{16} = \frac{7}{16} > 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-4, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ y' = \frac{(-2)^2 + 2(-2) - 8}{(-2 + 1)^2} = \frac{4 - 4 - 8}{1} = -8 < 0 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-1, 2) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = \frac{0^2 + 2(0) - 8}{(0 + 1)^2} = \frac{-8}{1} = -8 < 0 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ y' = \frac{3^2 + 2(3) - 8}{(3 + 1)^2} = \frac{9 + 6 - 8}{16} = \frac{7}{16} > 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. 4. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-4, -1) \) và \( (-1, 2) \). Vậy đáp án đúng là: D. $(-4, -1)$ và $(-1, 2)$. Câu 12. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = 3x^4 - 6x^2 + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^4 - 6x^2 + 1) = 12x^3 - 12x \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 12x^3 - 12x = 0 \] \[ 12x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Vậy các nghiệm là: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta tính đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: \[ y'' = \frac{d}{dx}(12x^3 - 12x) = 36x^2 - 12 \] - Kiểm tra tại các điểm \( x = 0, x = 1, x = -1 \): - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 36(0)^2 - 12 = -12 < 0 \] Vậy \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 36(1)^2 - 12 = 24 > 0 \] Vậy \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 36(-1)^2 - 12 = 24 > 0 \] Vậy \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 3(0)^4 - 6(0)^2 + 1 = 1 \] Vậy giá trị cực đại là \( y_{CD} = 1 \). - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 3(1)^4 - 6(1)^2 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2 \] Vậy giá trị cực tiểu là \( y_{CT} = -2 \). - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = 3(-1)^4 - 6(-1)^2 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2 \] Vậy giá trị cực tiểu là \( y_{CT} = -2 \). Kết luận: Giá trị cực đại của hàm số là \( y_{CD} = 1 \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( y_{CD} = 1 \). Câu 13. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị: Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = -1 \] 2. Tìm tọa độ các điểm cực trị: Thay $x = 1$ vào hàm số: \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] Vậy điểm cực trị thứ nhất là $A(1, -1)$. Thay $x = -1$ vào hàm số: \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] Vậy điểm cực trị thứ hai là $B(-1, 3)$. 3. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: Ta sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \] Thay tọa độ của điểm $A(1, -1)$ và $B(-1, 3)$ vào công thức trên: \[ y - (-1) = \frac{3 - (-1)}{-1 - 1} (x - 1) \] \[ y + 1 = \frac{3 + 1}{-2} (x - 1) \] \[ y + 1 = \frac{4}{-2} (x - 1) \] \[ y + 1 = -2(x - 1) \] \[ y + 1 = -2x + 2 \] \[ y = -2x + 1 \] Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \[ y = -2x + 1 \] Đáp án đúng là: C. $y = -2x + 1$. Câu 14. Để tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Kiểm tra đạo hàm ở các khoảng $( -\infty, 1 )$, $( 1, 3 )$, $( 3, +\infty )$: - Chọn $x = 0$: $y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0$ (hàm số tăng) - Chọn $x = 2$: $y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$ (hàm số giảm) - Chọn $x = 4$: $y'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$ (hàm số tăng) Từ đó, ta thấy: - Tại $x = 1$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó là điểm cực đại. - Tại $x = 3$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại: \[ y(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3 \] Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1, 3)$. Đáp án đúng là: B. $(1, 3)$. Câu 15. Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 5) = 4x^3 - 4x \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Từ đây, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Ta cần kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của các điểm cực trị: \[ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \] - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -1 \) cũng là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] Như vậy, giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \) là 4, đạt được khi \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). Đáp án: B. 4. Câu 16. Để tìm các điểm cực đại của hàm số \( y = -3\sqrt[3]{x^2} + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-3\sqrt[3]{x^2} + 2\right) \] Ta có: \[ y' = -3 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = -2x^{-\frac{1}{3}} \] 2. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: \[ y' = -2x^{-\frac{1}{3}} = 0 \] Điều này không xảy ra vì \( -2x^{-\frac{1}{3}} \neq 0 \) cho mọi \( x \neq 0 \). Đạo hàm \( y' \) không xác định khi \( x = 0 \): \[ y' = -2x^{-\frac{1}{3}} \quad \text{(không xác định khi } x = 0) \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) ở các khoảng liên quan: - Khi \( x < 0 \), \( x^{-\frac{1}{3}} \) là số âm, do đó \( y' = -2x^{-\frac{1}{3}} \) là số dương. - Khi \( x > 0 \), \( x^{-\frac{1}{3}} \) là số dương, do đó \( y' = -2x^{-\frac{1}{3}} \) là số âm. 4. Xác định tính chất cực đại/cực tiểu tại điểm \( x = 0 \): - Khi \( x \) chuyển từ âm sang dương qua điểm \( x = 0 \), đạo hàm \( y' \) chuyển từ dương sang âm. Điều này cho thấy hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \). Do đó, hàm số \( y = -3\sqrt[3]{x^2} + 2 \) có 1 điểm cực đại tại \( x = 0 \). Đáp án: C. 1. Câu 17. Để tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các khoảng xung quanh các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \): - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) - Khi \( 0 < x < 2 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) Do đó: - \( x = 0 \) là điểm cực đại. - \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] 5. Tính hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: \[ \text{Hiệu số} = y_{\text{cực đại}} - y_{\text{cực tiểu}} = 4 - 0 = 4 \] Vậy, hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là 4. Đáp án đúng là: A. 4.