giúp mình vs Câu 5. Một chiếc máy bay đang bay trong không gian Oxyz , với tọa độ hiện tại là,$M(40;10;40).$ Đường bay mong muốn của máy bay đi qua hai điểm $A(0;10;0)$ và $B(20;0;10).$,cách ngắn nhất từ vị trí hiện tại của máy bay đến đường bay mong muốn này. Hãy tìm khoảng

Question

Accepted Answer

Câu 5.
Để tìm khoảng cách ngắn nhất từ vị trí hiện tại của máy bay đến đường bay mong muốn, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
   - Tọa độ của điểm A là $(0, 10, 0)$.
   - Tọa độ của điểm B là $(20, 0, 10)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (20 - 0, 0 - 10, 10 - 0) = (20, -10, 10)$.

2. Tìm vectơ MA:
   - Tọa độ của điểm M là $(40, 10, 40)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{MA} = (0 - 40, 10 - 10, 0 - 40) = (-40, 0, -40)$.

3. Tính diện tích hình bình hành tạo bởi vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{MA}$:
   - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (20, -10, 10)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{MA} = (-40, 0, -40)$.
   - Tích có hướng của hai vectơ:
     $$
     \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{MA} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     20 & -10 & 10 \
     -40 & 0 & -40
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}((-10)(-40) - (10)(0)) - \mathbf{j}((20)(-40) - (10)(-40)) + \mathbf{k}((20)(0) - (-10)(-40))
     $$
     $$
     = \mathbf{i}(400 - 0) - \mathbf{j}(-800 + 400) + \mathbf{k}(0 - 400)
     = 400\mathbf{i} + 400\mathbf{j} - 400\mathbf{k}
     = (400, 400, -400)
     $$

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{MA}$:
     $$
     |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{MA}| = \sqrt{400^2 + 400^2 + (-400)^2} = \sqrt{160000 + 160000 + 160000} = \sqrt{480000} = 400\sqrt{3}
     $$

4. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$:
   $$
   |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{20^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100 + 100} = \sqrt{600} = 10\sqrt{6}
   $$

5. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB:
   $$
   d = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{MA}|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{400\sqrt{3}}{10\sqrt{6}} = \frac{400\sqrt{3}}{10\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 20\sqrt{2}
   $$

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ vị trí hiện tại của máy bay đến đường bay mong muốn là $20\sqrt{2}$.