giup với ạaaa

Câu 1. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số. 2. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 3. Tính giá trị của \(x_1 \cdot x_2\). 4. Tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số Hàm số \(y = x^3 - 3x + 1\). Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Đặt \(y' = 0\) để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] Vậy \(x = 1\) và \(x = -1\) là các điểm cực trị. Bước 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Xét dấu của đạo hàm \(y'\): - Khi \(x < -1\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. - Khi \(-1 < x < 1\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến. - Khi \(x > 1\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞, -1)\) và \((1, +∞)\), nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). Bước 3: Tính giá trị của \(x_1 \cdot x_2\) Các điểm cực trị là \(x_1 = -1\) và \(x_2 = 1\). Vậy: \[ x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 1 = -1 \] Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC Gọi \(A\) là điểm cực đại, \(B\) là điểm cực tiểu, và \(C(-1, 2)\). Tìm tọa độ của \(A\) và \(B\): - Khi \(x = -1\), \(y = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3\). Vậy \(A(-1, 3)\). - Khi \(x = 1\), \(y = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1\). Vậy \(B(1, -1)\). Diện tích tam giác \(ABC\) được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Thay tọa độ vào: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -1(-1 - 2) + 1(2 - 3) + (-1)(3 - (-1)) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1(-3) + 1(-1) + (-1)(4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 3 - 1 - 4 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -2 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Kết luận a) Đúng vì điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 1\). b) Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). c) Đúng vì \(x_1 \cdot x_2 = -1\). d) Sai vì diện tích tam giác \(ABC\) là 1, không phải 12. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 2. a) Ta có $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1+1, -2+1, 3-1) = (2, -1, 2)$ Do đó $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Vậy mệnh đề này đúng. b) Ta có $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 1 - 2 - 3 = -4$. Vậy mệnh đề này đúng. c) Ta có $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1-1, -2-1, 3+1) = (0, -3, 4)$ Do đó $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Vậy mệnh đề này đúng. d) Ta cần kiểm tra xem vectơ $(-1, -4, 3)$ có cùng vuông góc với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ hay không. Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot (-1, -4, 3) = 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 3 = -1 + 8 + 9 = 16 \neq 0$ $\overrightarrow{b} \cdot (-1, -4, 3) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-4) + (-1) \cdot 3 = -1 - 4 - 3 = -8 \neq 0$ Vì cả hai tích vô hướng đều không bằng 0, nên vectơ $(-1, -4, 3)$ không cùng vuông góc với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Vậy mệnh đề này sai. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và suy ra các tính chất của hàm số $y = f(x)$. a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$ - Đồ thị của $y = f'(x)$ cho thấy $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-\infty; -2)$. - Điều này có nghĩa là đạo hàm của $f(x)$ dương trên khoảng này, do đó hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$. b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị - Đồ thị của $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại hai điểm, tương ứng với hai giá trị của $x$ mà $f'(x) = 0$. - Những điểm này là các điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ vì đạo hàm thay đổi dấu ở những điểm này. c) Hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$ - Đồ thị của $y = f'(x)$ cho thấy nó tăng dần trên khoảng $(0; +\infty)$. - Điều này có nghĩa là đạo hàm của $f'(x)$ dương trên khoảng này, tức là $f''(x) > 0$, do đó hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. d) $f'(2) = 4$ - Từ đồ thị của $y = f'(x)$, ta thấy rằng tại điểm $x = 2$, giá trị của $f'(x)$ là 4. - Do đó, $f'(2) = 4$. Kết luận: - a) Đúng: Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$. - b) Đúng: Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị. - c) Đúng: Hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. - d) Đúng: $f'(2) = 4$. Vậy tất cả các phát biểu đều đúng. Câu 4. Để giải quyết các khẳng định về đồ thị của hàm số \( y = \frac{2x - 3}{x + 1} \), chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = 2 \). Để tìm đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 3}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \] Vậy khẳng định này là đúng. b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 1 \). Để tìm đường tiệm cận đứng, ta tìm giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Vậy khẳng định này là sai vì đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). c) Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận. Từ các khẳng định trước, ta đã biết rằng đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \) và đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Vậy khẳng định này là đúng. d) Đồ thị hàm số có giao điểm I của hai đường tiệm cận nằm trên đường thẳng \( (\Delta): x + 2y - 3 = 0 \). Giao điểm của hai đường tiệm cận là \( (-1, 2) \). Ta thay tọa độ này vào phương trình đường thẳng \( (\Delta) \): \[ -1 + 2(2) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0 \] Vậy khẳng định này là đúng. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. Câu 1. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của máy bay trong không gian. Vận tốc của máy bay là vectơ chỉ hướng và tốc độ di chuyển của máy bay từ điểm A đến điểm B trong khoảng thời gian 10 phút. Vectơ chỉ hướng từ điểm A đến điểm B là: \[ \overrightarrow{AB} = (940 - 800, 550 - 500, 88 - 7) = (140, 50, 81) \] Vì máy bay di chuyển trong 10 phút, ta tính vận tốc của máy bay trong 1 phút: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{140}{10}, \frac{50}{10}, \frac{81}{10}\right) = (14, 5, 8.1) \] Sau 10 phút tiếp theo, máy bay sẽ di chuyển thêm một đoạn đường tương ứng với 10 lần vận tốc này: \[ \overrightarrow{BD} = 10 \times \overrightarrow{v} = 10 \times (14, 5, 8.1) = (140, 50, 81) \] Vậy tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo sẽ là: \[ D = B + \overrightarrow{BD} = (940, 550, 88) + (140, 50, 81) = (1080, 600, 169) \] Tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \( D(1080, 600, 169) \). Cuối cùng, ta tính tổng của các tọa độ: \[ x + y + z = 1080 + 600 + 169 = 1849 \] Đáp số: \( x + y + z = 1849 \). Câu 2. Để tìm giá trị của tổng \(a + b + c\), ta cần sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác trong không gian. Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ trung bình cộng của tọa độ các đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\). Tọa độ của trọng tâm \(G\) là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Biết rằng \(A(1, -3, 3)\), \(B(2, -4, 5)\), \(C(a, -2, b)\), và \(G(1, c, 3)\). Ta có: \[ 1 = \frac{1 + 2 + a}{3} \] \[ c = \frac{-3 - 4 - 2}{3} \] \[ 3 = \frac{3 + 5 + b}{3} \] Giải từng phương trình này: 1. Tính \(a\): \[ 1 = \frac{1 + 2 + a}{3} \] \[ 1 = \frac{3 + a}{3} \] \[ 3 = 3 + a \] \[ a = 0 \] 2. Tính \(c\): \[ c = \frac{-3 - 4 - 2}{3} \] \[ c = \frac{-9}{3} \] \[ c = -3 \] 3. Tính \(b\): \[ 3 = \frac{3 + 5 + b}{3} \] \[ 3 = \frac{8 + b}{3} \] \[ 9 = 8 + b \] \[ b = 1 \] Vậy, giá trị của tổng \(a + b + c\) là: \[ a + b + c = 0 + 1 - 3 = -2 \] Đáp số: \(-2\) Câu 3. Để xác định phương sai của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng thời gian và số lượng vận động viên trong mỗi khoảng. - Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. - Tính tổng của các bình phương này và chia cho số lượng mẫu. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Ta có các khoảng thời gian và số lượng vận động viên tương ứng: - [10,2; 10,4): 3 vận động viên - [10,4; 10,6): 7 vận động viên - [10,6; 10,8): 8 vận động viên - [10,8; 11,0): 2 vận động viên Trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{(10,3 \times 3) + (10,5 \times 7) + (10,7 \times 8) + (10,9 \times 2)}{3 + 7 + 8 + 2} \] \[ = \frac{(30,9) + (73,5) + (85,6) + (21,8)}{20} \] \[ = \frac{211,8}{20} = 10,59 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \(s^2\) được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số của mỗi nhóm. - \(x_i\) là giá trị trung tâm của mỗi nhóm. - \(\bar{x}\) là trung bình cộng của mẫu số liệu. - \(n\) là tổng số lượng mẫu. Ta tính từng phần: \[ (10,3 - 10,59)^2 = (-0,29)^2 = 0,0841 \] \[ (10,5 - 10,59)^2 = (-0,09)^2 = 0,0081 \] \[ (10,7 - 10,59)^2 = (0,11)^2 = 0,0121 \] \[ (10,9 - 10,59)^2 = (0,31)^2 = 0,0961 \] Tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = (3 \times 0,0841) + (7 \times 0,0081) + (8 \times 0,0121) + (2 \times 0,0961) \] \[ = 0,2523 + 0,0567 + 0,0968 + 0,1922 \] \[ = 0,6 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{0,6}{20} = 0,03 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu là \(0,03\). Câu 4. Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc \( v \) của chất điểm trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình vận tốc \( v(t) \): - Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + 17t) \] - Tính đạo hàm: \[ v(t) = -3t^2 + 12t + 17 \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \) trong khoảng thời gian \( 0 \leq t \leq 8 \): - Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \), ta cần tìm các điểm cực đại của hàm số \( v(t) \). Ta làm điều này bằng cách tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t + 17) = -6t + 12 \] - Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \] 3. Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm biên và điểm cực đại: - Tại \( t = 0 \): \[ v(0) = -3(0)^2 + 12(0) + 17 = 17 \] - Tại \( t = 2 \): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 17 = -3(4) + 24 + 17 = -12 + 24 + 17 = 29 \] - Tại \( t = 8 \): \[ v(8) = -3(8)^2 + 12(8) + 17 = -3(64) + 96 + 17 = -192 + 96 + 17 = -79 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - Các giá trị của \( v(t) \) tại các điểm kiểm tra là: \[ v(0) = 17, \quad v(2) = 29, \quad v(8) = -79 \] - Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là \( v(2) = 29 \). Vậy, trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc \( v \) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 29 m/s, đạt được khi \( t = 2 \) giây. Câu 5. Gọi chiều dài và chiều rộng của phần mặt nước là $x$ và $y$ (đơn vị: m). Ta có: \[ xy = 80 \] Diện tích phần đường đi xung quanh là: \[ S = 2 \times (x + y) \times 1 = 2(x + y) \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $S$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Bước 1: Biểu diễn $y$ theo $x$ từ điều kiện $xy = 80$: \[ y = \frac{80}{x} \] Bước 2: Thay vào biểu thức diện tích phần đường đi: \[ S = 2 \left( x + \frac{80}{x} \right) \] Bước 3: Tìm đạo hàm của $S$ theo $x$: \[ S' = 2 \left( 1 - \frac{80}{x^2} \right) \] Bước 4: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 2 \left( 1 - \frac{80}{x^2} \right) = 0 \] \[ 1 - \frac{80}{x^2} = 0 \] \[ \frac{80}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 80 \] \[ x = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \] Bước 5: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: \[ S'' = 2 \left( \frac{160}{x^3} \right) \] Khi $x = 4\sqrt{5}$, ta có: \[ S'' = 2 \left( \frac{160}{(4\sqrt{5})^3} \right) > 0 \] Do đó, $x = 4\sqrt{5}$ là điểm cực tiểu. Bước 6: Tính diện tích phần đường đi khi $x = 4\sqrt{5}$: \[ y = \frac{80}{4\sqrt{5}} = 4\sqrt{5} \] \[ S = 2 \left( 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} \right) = 2 \times 8\sqrt{5} = 16\sqrt{5} \approx 35.78 \] Vậy diện tích phần đường đi bé nhất là khoảng 36 mét vuông (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 36 m²