toan12 giai

Câu 10: Để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số và áp dụng điều kiện cực tiểu. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - (m + 2)x + m \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - (m + 2)x + m) = 3x^2 - (m + 2) \] Bước 2: Áp dụng điều kiện cực tiểu tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đạo hàm tại điểm đó bằng 0. \[ y'(1) = 3(1)^2 - (m + 2) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của \( m \). \[ 3 - (m + 2) = 0 \] \[ 3 - m - 2 = 0 \] \[ 1 - m = 0 \] \[ m = 1 \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) là \( m = 1 \). Đáp án đúng là: A. \( m = 1 \) Câu 11: Bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ cho thấy: - Khi $x$ tiến đến $-\infty$, giá trị của $f(x)$ tiến đến $0$. Điều này cho thấy hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$. - Khi $x$ tiến đến $+\infty$, giá trị của $f(x)$ tiến đến $2$. Điều này cho thấy hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$. - Khi $x$ tiến đến $-1$ từ bên trái, giá trị của $f(x)$ tiến đến $+\infty$. Điều này cho thấy hàm số có tiệm cận đứng là $x = -1$. - Khi $x$ tiến đến $1$ từ bên phải, giá trị của $f(x)$ tiến đến $-\infty$. Điều này cho thấy hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$. Như vậy, tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: - Số tiệm cận ngang: 2 (tiệm cận ngang là $y = 0$ và $y = 2$) - Số tiệm cận đứng: 2 (tiệm cận đứng là $x = -1$ và $x = 1$) Tổng số tiệm cận là: 2 + 2 = 4 Đáp án đúng là: D. 4. Câu 12: Để hàm số $y=\frac{1}{3}(m-1)x^3 - mx^2 + 4x + 1$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}(m-1)x^3 - mx^2 + 4x + 1\right) \] \[ y' = (m-1)x^2 - 2mx + 4 \] Bước 2: Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn dương trên $\mathbb{R}$. Do đó, ta cần: \[ (m-1)x^2 - 2mx + 4 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai $(m-1)x^2 - 2mx + 4$. Để tam thức này luôn dương, ta cần: 1. Hệ số của $x^2$ phải dương: $m-1 > 0 \Rightarrow m > 1$ 2. Đạo hàm của tam thức này không có nghiệm thực hoặc nghiệm kép (điều kiện này đảm bảo rằng tam thức không cắt trục hoành): \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(m-1)(4) < 0 \] \[ 4m^2 - 16(m-1) < 0 \] \[ 4m^2 - 16m + 16 < 0 \] \[ m^2 - 4m + 4 < 0 \] \[ (m-2)^2 < 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình $(m-2)^2 < 0$. Ta thấy rằng $(m-2)^2$ là bình phương của một số thực, do đó nó luôn không âm và chỉ bằng 0 khi $m = 2$. Vì vậy, $(m-2)^2 < 0$ không có nghiệm thực. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại điều kiện $m > 1$. Khi $m = 2$, ta có: \[ (m-1)x^2 - 2mx + 4 = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 \] Do đó, $m = 2$ là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: D. $m = 2$ Đáp số: $m = 2$ Câu 1: a) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0.$ Sai vì theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. b) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0 . Sai vì theo bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số bằng -1. c) Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) . Sai vì theo bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1). d) Hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu. Đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu duy nhất tại $x=-1$. Câu 2: a) Hàm số đạt GTLN trên đoạn [-2; 2] là 1. - Xét đồ thị hàm số trên đoạn [-2; 2], ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được tại điểm x = 2. - Do đó, mệnh đề này là đúng. b) GTNN trên đoạn [-2; 0] là -2. - Xét đồ thị hàm số trên đoạn [-2; 0], ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được tại điểm x = -2. - Do đó, mệnh đề này là đúng. Đáp số: a) Đúng b) Đúng