Giải dùm ạ

Bài 77. a) Chứng minh $\Delta AMC$ cân. - Trong tam giác vuông $ABB$, ta có $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$. Theo tính chất của trung tuyến trong tam giác vuông, ta có $AM = \frac{1}{2}BC$. - Mặt khác, $MC$ cũng là đoạn thẳng từ đỉnh $M$ đến đỉnh $C$ của tam giác $ABC$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $MC = \frac{1}{2}BC$. - Do đó, $AM = MC$, suy ra $\Delta AMC$ là tam giác cân tại $M$. b) Chứng minh $AMCN$ là hình thoi. - Ta đã biết $AM = MC$ (từ phần a). - Xét tam giác $AMO$ và tam giác $CMO$: - $MO$ chung. - $AO = OC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$). - $\angle AMO = \angle CMO = 90^\circ$ (vì $MO \perp AC$). - Do đó, $\Delta AMO = \Delta CMO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra $AM = CM$ và $AO = CO$. - Xét tam giác $AMN$ và tam giác $CMN$: - $MO = NO$ (theo đề bài). - $MN$ chung. - $\angle AMN = \angle CMN = 90^\circ$ (vì $MO \perp AC$ và $NO = MO$). - Do đó, $\Delta AMN = \Delta CMN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra $AN = CN$ và $AM = CM$. - Vậy $AMCN$ là hình thoi (vì các cạnh đối bằng nhau và các đường chéo vuông góc với nhau). c) Chứng minh ba điểm $A$, $M$, $D$ thẳng hàng. - Ta đã biết $I$ là trung điểm của $MC$, tức là $MI = IC$. - Xét tam giác $MIN$ và tam giác $CID$: - $IN = ID$ (theo đề bài). - $MI = IC$ (vì $I$ là trung điểm của $MC$). - $\angle MIN = \angle CID$ (góc đối đỉnh). - Do đó, $\Delta MIN = \Delta CID$ (cạnh - góc - cạnh). - Suy ra $\angle AIM = \angle DIM$. - Vì $\angle AIM + \angle DIM = 180^\circ$ (hai góc kề bù), nên $\angle AIM = \angle DIM = 90^\circ$. - Vậy ba điểm $A$, $M$, $D$ thẳng hàng (vì $\angle AIM = 90^\circ$). d) Điều kiện để $M$ là trực tâm của $ABND$. - Để $M$ là trực tâm của $ABND$, các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác $ABND$ phải cắt nhau tại $M$. - Điều này yêu cầu các đường cao từ $A$, $B$, $N$, $D$ phải cắt nhau tại $M$. - Do đó, $M$ phải là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác $ABND$. - Điều kiện cần thêm là $\angle BAC = 90^\circ$ (vì $M$ là trực tâm của tam giác $ABND$ khi tam giác $ABN$ vuông tại $A$). Đáp số: a) $\Delta AMC$ cân tại $M$. b) $AMCN$ là hình thoi. c) Ba điểm $A$, $M$, $D$ thẳng hàng. d) Điều kiện cần thêm là $\angle BAC = 90^\circ$. Bài 78. a) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^{\circ}$ nên B, E, F, C nằm trên đường tròn có đường kính BC. $\widehat{CBH}=\widehat{CFE}$ (cùng chắn cung CH) Mà $\widehat{CFE}=\widehat{CBK}$ (cùng phụ với $\widehat{BCF})$ Nên $\widehat{CBH}=\widehat{CBK}$ Tương tự ta có $\widehat{BCH}=\widehat{BCK}$ Do đó ta có $BH\parallel CK$ và $CH\parallel BK$ Hay BHCK là hình bình hành. b) Ta có $\widehat{BHC}+\widehat{BKC}=180^{\circ}-\widehat{ABC}+180^{\circ}-\widehat{ACB}=360^{\circ}-(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})=360^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{BAC})=240^{\circ}$ Mặt khác ta có $\widehat{BHC}+\widehat{BKC}=180^{\circ}\times 2-\widehat{BHC}-\widehat{BKC}=360^{\circ}-(\widehat{BHC}+\widehat{BKC})=120^{\circ}$ Vậy tam giác BKC đều. Lại có M là trung điểm của BC nên M đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC. Mà MK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC nên $\widehat{MBK}=90^{\circ}$ Mặt khác ta có $\widehat{HBK}=90^{\circ}$ nên M, H, K thẳng hàng. c) Ta có $\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$ (chứng minh phần a) Mà $\widehat{HBC}=\widehat{IBC}$ (cùng phụ với $\widehat{ABH})$ $\widehat{HCB}=\widehat{ICK}$ (cùng phụ với $\widehat{ACH})$ Nên $\widehat{IBC}=\widehat{ICK}$ Mặt khác ta có $\widehat{IBC}+\widehat{IKC}=180^{\circ}-\widehat{IBK}+180^{\circ}-\widehat{IKB}=360^{\circ}-(\widehat{IBK}+\widehat{IKB})=360^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{BIC})=180^{\circ}+\widehat{BIC}=180^{\circ}+\widehat{BKC}=180^{\circ}+60^{\circ}=240^{\circ}$ Vậy $\widehat{ICK}=120^{\circ}$ Mặt khác ta có $\widehat{BIC}=60^{\circ}$ nên $\widehat{BIC}+\widehat{ICK}=180^{\circ}$ Hay BI và CK song song. Vậy BIKC là hình thang. Bài 79. a) Chứng minh $AC // HK$: - Ta có $\triangle ABC$ vuông tại $A$, do đó $\angle BAC = 90^\circ$. - Vì $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ nên $AH \perp BC$. - $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, do đó $HM$ và $HN$ là các đường cao hạ từ $H$ xuống $AB$ và $AC$. - $I$ là trung điểm của $HC$, $K$ nằm trên tia $AI$ sao cho $I$ là trung điểm của $AK$. Điều này cho thấy $AI = IK$. - Vì $I$ là trung điểm của $HC$ và $AK$, ta có $AI = IK = \frac{1}{2}AK$. - Do $I$ là trung điểm của $HC$, ta có $HI = IC$. - Vì $AC \perp AH$ và $HK \perp AH$ (vì $K$ nằm trên tia $AI$ và $AI$ là đường trung tuyến của $\triangle AHC$), ta có $AC // HK$. b) Chứng minh $MNCK$ là hình thang cân: - Ta đã chứng minh $AC // HK$, do đó $MN // CK$ (vì $MN$ và $CK$ đều vuông góc với $AH$). - Để chứng minh $MNCK$ là hình thang cân, ta cần chứng minh $MN = CK$. - Ta có $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, do đó $HM$ và $HN$ là các đường cao hạ từ $H$ xuống $AB$ và $AC$. - Vì $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ nên $AH$ là đường cao chung của $\triangle ABH$ và $\triangle ACH$. - Do đó, $HM = HN$ (vì $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ và $HM$ và $HN$ là các đường cao hạ từ $H$ xuống $AB$ và $AC$). - Vì $MN$ và $CK$ đều vuông góc với $AH$, ta có $MN = CK$. - Vậy $MNCK$ là hình thang cân. c) Chứng minh $AK = 3AD$: - Ta có $O$ là giao điểm của $MN$ và $AH$, $D$ là giao điểm của $CO$ và $AK$. - Vì $MN // CK$, ta có $\triangle MNO \sim \triangle COK$ (góc giữa hai đường thẳng song song). - Do đó, $\frac{MO}{OK} = \frac{NO}{OC}$. - Vì $MN = CK$, ta có $\frac{MO}{OK} = \frac{NO}{OC} = 1$. - Điều này cho thấy $MO = OK$ và $NO = OC$. - Vì $I$ là trung điểm của $HC$, ta có $HI = IC$. - Vì $I$ là trung điểm của $AK$, ta có $AI = IK$. - Do đó, $AK = 3AD$ (vì $AI = IK$ và $I$ là trung điểm của $AK$). Đáp số: $AK = 3AD$.