Giải dùm ạ

Bài 77. a) Chứng minh $$ cân. - Trong tam giác vuông $$, ta có $$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $$. Theo tính chất của trung tuyến trong tam giác vuông, ta có $$. - Mặt khác, $$ cũng là đoạn thẳng từ đỉnh $$ đến đỉnh $$ của tam giác $$. Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. - Do đó, $$, suy ra $$ là tam giác cân tại $$. b) Chứng minh $$ là hình thoi. - Ta đã biết $$ (từ phần a). - Xét tam giác $$ và tam giác $$: - $$ chung. - $$ (vì $$ là trung điểm của $$). - $$ (vì $$). - Do đó, $$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra $$ và $$. - Xét tam giác $$ và tam giác $$: - $$ (theo đề bài). - $$ chung. - $$ (vì $$ và $$). - Do đó, $$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra $$ và $$. - Vậy $$ là hình thoi (vì các cạnh đối bằng nhau và các đường chéo vuông góc với nhau). c) Chứng minh ba điểm $$, $$, $$ thẳng hàng. - Ta đã biết $$ là trung điểm của $$, tức là $$. - Xét tam giác $$ và tam giác $$: - $$ (theo đề bài). - $$ (vì $$ là trung điểm của $$). - $$ (góc đối đỉnh). - Do đó, $$ (cạnh - góc - cạnh). - Suy ra $$. - Vì $$ (hai góc kề bù), nên $$. - Vậy ba điểm $$, $$, $$ thẳng hàng (vì $$). d) Điều kiện để $$ là trực tâm của $$. - Để $$ là trực tâm của $$, các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác $$ phải cắt nhau tại $$. - Điều này yêu cầu các đường cao từ $$, $$, $$, $$ phải cắt nhau tại $$. - Do đó, $$ phải là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác $$. - Điều kiện cần thêm là $$ (vì $$ là trực tâm của tam giác $$ khi tam giác $$ vuông tại $$). Đáp số: a) $$ cân tại $$. b) $$ là hình thoi. c) Ba điểm $$, $$, $$ thẳng hàng. d) Điều kiện cần thêm là $$. Bài 78. a) Ta có $$ nên B, E, F, C nằm trên đường tròn có đường kính BC. $$ (cùng chắn cung CH) Mà $$ (cùng phụ với $$ Nên $$ Tương tự ta có $$ Do đó ta có $$ và $$ Hay BHCK là hình bình hành. b) Ta có $$ Mặt khác ta có $$ Vậy tam giác BKC đều. Lại có M là trung điểm của BC nên M đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC. Mà MK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC nên $$ Mặt khác ta có $$ nên M, H, K thẳng hàng. c) Ta có $$ (chứng minh phần a) Mà $$ (cùng phụ với $$ $$ (cùng phụ với $$ Nên $$ Mặt khác ta có $$ Vậy $$ Mặt khác ta có $$ nên $$ Hay BI và CK song song. Vậy BIKC là hình thang. Bài 79. a) Chứng minh $$: - Ta có $$ vuông tại $$, do đó $$. - Vì $$ là chân đường cao hạ từ $$ nên $$. - $$ và $$, do đó $$ và $$ là các đường cao hạ từ $$ xuống $$ và $$. - $$ là trung điểm của $$, $$ nằm trên tia $$ sao cho $$ là trung điểm của $$. Điều này cho thấy $$. - Vì $$ là trung điểm của $$ và $$, ta có $$. - Do $$ là trung điểm của $$, ta có $$. - Vì $$ và $$ (vì $$ nằm trên tia $$ và $$ là đường trung tuyến của $$), ta có $$. b) Chứng minh $$ là hình thang cân: - Ta đã chứng minh $$, do đó $$ (vì $$ và $$ đều vuông góc với $$). - Để chứng minh $$ là hình thang cân, ta cần chứng minh $$. - Ta có $$ và $$, do đó $$ và $$ là các đường cao hạ từ $$ xuống $$ và $$. - Vì $$ là chân đường cao hạ từ $$ nên $$ là đường cao chung của $$ và $$. - Do đó, $$ (vì $$ là chân đường cao hạ từ $$ và $$ và $$ là các đường cao hạ từ $$ xuống $$ và $$). - Vì $$ và $$ đều vuông góc với $$, ta có $$. - Vậy $$ là hình thang cân. c) Chứng minh $$: - Ta có $$ là giao điểm của $$ và $$, $$ là giao điểm của $$ và $$. - Vì $$, ta có $$ (góc giữa hai đường thẳng song song). - Do đó, $$. - Vì $$, ta có $$. - Điều này cho thấy $$ và $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, ta có $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, ta có $$. - Do đó, $$ (vì $$ và $$ là trung điểm của $$). Đáp số: $$.