Giúp mình voiiiii

Câu 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng \(ax + by = c\), trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là các hằng số, và \(x\), \(y\) là các ẩn số. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình bậc nhất hai ẩn: A. \(2xy + y = 3\) - Phương trình này có chứa \(xy\), tức là tích của hai ẩn số \(x\) và \(y\). Do đó, nó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. B. \(y - 2x = 0\) - Phương trình này có dạng \(ax + by = c\) với \(a = -2\), \(b = 1\), và \(c = 0\). Do đó, nó là phương trình bậc nhất hai ẩn. C. \(2x + 2y = 1\) - Phương trình này có dạng \(ax + by = c\) với \(a = 2\), \(b = 2\), và \(c = 1\). Do đó, nó là phương trình bậc nhất hai ẩn. D. \(0x + 0y = 0\) - Phương trình này có dạng \(ax + by = c\) với \(a = 0\), \(b = 0\), và \(c = 0\). Tuy nhiên, nó không cung cấp thông tin hữu ích về \(x\) và \(y\), do đó không được coi là phương trình bậc nhất hai ẩn thực sự. Như vậy, các phương trình bậc nhất hai ẩn là: B. \(y - 2x = 0\) C. \(2x + 2y = 1\) Đáp án: B và C. Câu 2: Để kiểm tra xem phương trình bậc nhất hai ẩn \( x - 2y = 4 \) có một nghiệm nào trong các lựa chọn đã cho, ta sẽ thay lần lượt từng cặp giá trị vào phương trình và kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình hay không. A. Thay \( (1; -1) \) vào phương trình: \[ 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \neq 4 \] Vậy cặp giá trị \( (1; -1) \) không thỏa mãn phương trình. B. Thay \( (-2; 1) \) vào phương trình: \[ -2 - 2(1) = -2 - 2 = -4 \neq 4 \] Vậy cặp giá trị \( (-2; 1) \) không thỏa mãn phương trình. C. Thay \( (2; 1) \) vào phương trình: \[ 2 - 2(1) = 2 - 2 = 0 \neq 4 \] Vậy cặp giá trị \( (2; 1) \) không thỏa mãn phương trình. D. Thay \( (2; -1) \) vào phương trình: \[ 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4 \] Vậy cặp giá trị \( (2; -1) \) thỏa mãn phương trình. Do đó, phương trình bậc nhất hai ẩn \( x - 2y = 4 \) có một nghiệm là \( (2; -1) \). Đáp án đúng là: D. \( (2; -1) \). Câu 3: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x + 2y = 3 \\ x - y = 1\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng cộng trừ: \[ \left\{\begin{array}{l} -x + 2y = 3 \\ 2(x - y) = 2 \cdot 1 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}{l} -x + 2y = 3 \\ 2x - 2y = 2 \end{array}\right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến \( y \): \[ (-x + 2y) + (2x - 2y) = 3 + 2 \] \[ -x + 2x + 2y - 2y = 5 \] \[ x = 5 \] Bước 3: Thay \( x = 5 \) vào phương trình \( x - y = 1 \) để tìm \( y \): \[ 5 - y = 1 \] \[ y = 5 - 1 \] \[ y = 4 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (5, 4) \). Do đó, đáp án đúng là: C. $(5, 4)$ Câu 4: Ta xét từng khẳng định một: A. \(a + 3 > b + 3\) - Ta có \(a < b\), do đó nếu ta cộng thêm cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức vẫn giữ nguyên hướng. Vì vậy, \(a + 3 < b + 3\). Khẳng định này sai. B. \(a + 3 < b + 3\) - Ta có \(a < b\), do đó nếu ta cộng thêm cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức vẫn giữ nguyên hướng. Vì vậy, \(a + 3 < b + 3\). Khẳng định này đúng. C. \(a \cdot 2 > b \cdot 2\) - Ta có \(a < b\), do đó nếu ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương thì bất đẳng thức vẫn giữ nguyên hướng. Vì vậy, \(a \cdot 2 < b \cdot 2\). Khẳng định này sai. D. \(-3a < -3b\) - Ta có \(a < b\), do đó nếu ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức sẽ đổi hướng. Vì vậy, \(-3a > -3b\). Khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: B. \(a + 3 < b + 3\) Đáp án: B. \(a + 3 < b + 3\) Câu 5: Để xác định bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng phương án: A. \(0x - 3 > 0\) Phương trình này có dạng \(0x - 3 > 0\). Ta thấy rằng \(0x\) luôn bằng 0, do đó bất phương trình này trở thành \(-3 > 0\), điều này là sai. Do đó, phương án này không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn. B. \(2x + 5y > 0\) Phương trình này có dạng \(2x + 5y > 0\). Ta thấy rằng phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), do đó nó không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn. C. \(2xy > 0\) Phương trình này có dạng \(2xy > 0\). Ta thấy rằng phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), do đó nó không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn. D. \(3x + 2y < x - 4\) Phương trình này có dạng \(3x + 2y < x - 4\). Ta thấy rằng phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), do đó nó không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Như vậy, không có bất phương trình nào trong các phương án trên là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các phương án đã cho. Câu 6: Để kiểm tra giá trị \( x = 3 \) là nghiệm của bất phương trình nào, ta thay \( x = 3 \) vào từng phương án và kiểm tra xem bất phương trình đó có đúng hay không. A. \( x - 3 > 0 \) Thay \( x = 3 \): \[ 3 - 3 > 0 \] \[ 0 > 0 \] (sai) B. \( 3x - 1 > 0 \) Thay \( x = 3 \): \[ 3(3) - 1 > 0 \] \[ 9 - 1 > 0 \] \[ 8 > 0 \] (đúng) C. \( 3x + 1 > 0 \) Thay \( x = 3 \): \[ 3(3) + 1 > 0 \] \[ 9 + 1 > 0 \] \[ 10 > 0 \] (đúng) D. \( -2x + 6 < 0 \) Thay \( x = 3 \): \[ -2(3) + 6 < 0 \] \[ -6 + 6 < 0 \] \[ 0 < 0 \] (sai) Như vậy, giá trị \( x = 3 \) là nghiệm của các bất phương trình: B. \( 3x - 1 > 0 \) C. \( 3x + 1 > 0 \) Đáp án: B và C. Câu 7: Căn bậc hai của 4 là số nào? Chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. 16: Căn bậc hai của 16 là 4, không phải 4. Suy ra sai. B. 2: Căn bậc hai của 4 là 2, vì 2 × 2 = 4. Suy ra đúng. C. 2 và -2: Cả 2 và -2 đều là căn bậc hai của 4, nhưng theo yêu cầu của đề bài, chúng ta chỉ chọn một đáp án duy nhất. Suy ra sai. D. -2: Căn bậc hai của 4 là 2, không phải -2. Suy ra sai. Vậy đáp án đúng là: B. 2 Câu 8: Căn bậc hai số học của 9 là số không âm mà bình phương của nó bằng 9. Ta có: \[ 3^2 = 9 \] Vậy căn bậc hai số học của 9 là 3. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. Bước 1: Tính $\sqrt[3]{-27}$. $\sqrt[3]{-27} = -3$ vì $(-3)^3 = -27$. Bước 2: Tính $\sqrt[3]{125}$. $\sqrt[3]{125} = 5$ vì $5^3 = 125$. Bước 3: Thực hiện phép trừ. $\sqrt[3]{-27} - \sqrt[3]{125} = -3 - 5 = -8$. Vậy kết quả của phép tính $\sqrt[3]{-27} - \sqrt[3]{125}$ là -8. Do đó, đáp án đúng là: D. -8. Câu 10: Trước tiên, chúng ta cần xác định các cạnh của tam giác vuông liên quan đến góc \(a\). Giả sử ta có tam giác vuông ABC với góc vuông tại C, và góc \(a\) tại đỉnh A. Ta cần biết độ dài các cạnh để tính cos của góc \(a\). cos của góc \(a\) được tính bằng cách chia độ dài cạnh kề góc \(a\) cho độ dài cạnh huyền. Giả sử: - Cạnh kề góc \(a\) là AC. - Cạnh huyền là AB. Ta có công thức: \[ \cos(a) = \frac{\text{AC}}{\text{AB}} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các đáp án đã cho: A. $\frac{4}{3}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{4}{5}$ Giả sử độ dài cạnh AC là 3 và độ dài cạnh AB là 5 (vì đây là các số thường gặp trong tam giác vuông Pythagoras 3-4-5). Do đó: \[ \cos(a) = \frac{3}{5} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{3}{5}$ Đáp số: C. $\frac{3}{5}$ Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Khi hai góc phụ nhau, tổng của chúng bằng 90°. Do đó, nếu góc $\alpha$ và góc $\beta$ là hai góc phụ nhau, ta có: \[ \alpha + \beta = 90^\circ \] Từ đây, ta có thể suy ra: \[ \beta = 90^\circ - \alpha \] Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các tỉ số lượng giác của hai góc này: 1. Tỉ số lượng giác của góc $\alpha$: - $\sin \alpha$ - $\cos \alpha$ - $\tan \alpha$ - $\cot \alpha$ 2. Tỉ số lượng giác của góc $\beta$: - $\sin \beta = \sin (90^\circ - \alpha)$ - $\cos \beta = \cos (90^\circ - \alpha)$ - $\tan \beta = \tan (90^\circ - \alpha)$ - $\cot \beta = \cot (90^\circ - \alpha)$ Theo các công thức lượng giác cơ bản, ta có: - $\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ - $\cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ - $\tan (90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$ - $\cot (90^\circ - \alpha) = \tan \alpha$ Do đó, ta thấy rằng: \[ \sin \alpha = \cos \beta \] Vậy, đáp án đúng là: C. $\sin \alpha = \cos \beta$. Câu 12: Để tính chiều cao của cột điện, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến góc và khoảng cách từ người thợ đến gốc cột điện. Chiều cao của cột điện \( h \) có thể được tính bằng công thức: \[ h = 12 \times \tan(35^\circ) \] Bước 1: Tính giá trị của \(\tan(35^\circ)\): \[ \tan(35^\circ) \approx 0,7002 \] Bước 2: Thay giá trị này vào công thức: \[ h = 12 \times 0,7002 \] \[ h \approx 8,4024 \] Bước 3: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai: \[ h \approx 8,40 \] Vậy chiều cao của cột điện là 8,40 mét. Đáp án đúng là: B. 8,4 mét. Câu 13: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về tính chất của đường tròn và trục đối xứng. Một đường tròn là hình có tất cả các điểm trên nó đều cách tâm một khoảng bằng nhau. Trục đối xứng của một hình là đường thẳng sao cho nếu gấp đôi hình qua đường thẳng đó thì hai nửa hình sẽ trùng khớp với nhau. Với đường tròn, mọi đường kính của nó đều là trục đối xứng. Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm của đường tròn và hai đầu mút của nó nằm trên đường tròn. Vì vậy, đường tròn có vô số đường kính, do đó cũng có vô số trục đối xứng. Do đó, đáp án đúng là: D. Có vô số trục đối xứng. Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của góc nội tiếp và cung nó chắn trên đường tròn. - Theo tính chất góc nội tiếp, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung nó chắn. - Trong bài toán này, góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ chắn cung AB, và số đo của cung AB là 120°. - Do đó, số đo của góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ sẽ là: \[ \text{Số đo của } \widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times \text{số đo của cung AB} = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \] Vậy, số đo của góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ là 60°. Đáp án đúng là: B. $60^\circ$. Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết rằng số đo của cung nhỏ AB sẽ bằng số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$. Bước 1: Xác định số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$. - Theo đề bài, số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$ là $80^\circ$. Bước 2: Xác định số đo của cung nhỏ AB. - Số đo của cung nhỏ AB sẽ bằng số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$. Vậy số đo của cung nhỏ AB là $80^\circ$. Đáp án đúng là: A. $80^\circ$. Câu 16 a) Giải phương trình: $(9-x)(3x+8)=0$ - Ta có phương trình $(9-x)(3x+8)=0$. Để tích của hai thừa số bằng 0 thì ít nhất một thừa số phải bằng 0. - Suy ra: $9-x=0$ hoặc $3x+8=0$ - Giải phương trình $9-x=0$, ta được $x=9$ - Giải phương trình $3x+8=0$, ta được $3x=-8 \Rightarrow x=\frac{-8}{3}$ - Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=9$ và $x=\frac{-8}{3}$ b) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}-x+y=1\\4x+3y=17\end{array}\right.$ - Từ phương trình đầu tiên, ta có $y=x+1$ - Thay vào phương trình thứ hai, ta có $4x+3(x+1)=17$ - Giải phương trình này: \[ 4x + 3x + 3 = 17 \\ 7x + 3 = 17 \\ 7x = 14 \\ x = 2 \] - Thay $x=2$ vào $y=x+1$, ta được $y=2+1=3$ - Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x,y)=(2,3)$ c) Giải bất phương trình sau: $4-\frac{x+4}{8}\geq\frac{x-5}{2}$ - Nhân cả hai vế với 8 để loại bỏ mẫu số: \[ 4 \times 8 - (x+4) \geq 4(x-5) \\ 32 - x - 4 \geq 4x - 20 \\ 28 - x \geq 4x - 20 \] - Chuyển các hạng tử liên quan đến $x$ sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 28 + 20 \geq 4x + x \\ 48 \geq 5x \\ x \leq \frac{48}{5} \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \leq \frac{48}{5}$ Câu 17 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( D \) Biểu thức \( D \) được cho là: \[ D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( D \) Phân thức thứ nhất: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] Phân thức thứ ba: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( D \) Ta có: \[ D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] Rút gọn phần trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] Do đó: \[ D = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} : \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] Chia hai phân thức: \[ D = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x} - 1} \] Rút gọn: \[ D = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( D \) khi \( x = 2025 - 2\sqrt{2024} \) Thay \( x = 2025 - 2\sqrt{2024} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{2025 - 2\sqrt{2024}}} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ 2025 - 2\sqrt{2024} = (\sqrt{2024} - 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{2025 - 2\sqrt{2024}} = \sqrt{(\sqrt{2024} - 1)^2} = \sqrt{2024} - 1 \] Vậy: \[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{2024} - 1} \] Để tính giá trị cụ thể của \( D \), ta cần biết giá trị của \( \sqrt{2024} \). Tuy nhiên, nếu không có thông tin cụ thể về giá trị của \( \sqrt{2024} \), ta có thể để kết quả ở dạng: \[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{2024} - 1} \] Đáp số: \[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{2024} - 1} \] Câu 18 a) Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{AOD}=30^\circ$ (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung nhỏ $AD$) $\widehat{BAD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) b) Ta có $OA=OB$ (cùng là bán kính) nên $\Delta OAB$ cân tại $O$. Lại có $OE\perp AB$ nên $E$ là trung điểm của $AB$. Do đó $AE=BE=\frac{1}{2}AB$. Ta có $\widehat{CAE}=\widehat{ABD}$ (cùng bằng $30^\circ$) $\widehat{ACE}=\widehat{BDE}$ (cùng bằng $90^\circ$) Nên $\Delta ACE=\Delta BDE$ (góc - cạnh - góc) Suy ra $CE=DE$ Xét $\Delta OCE$ và $\Delta ODE$, ta có: $OE$ cạnh chung $CE=DE$ (chứng minh trên) $OC=OD=R$ (cùng là bán kính) Nên $\Delta OCE=\Delta ODE$ (cạnh - cạnh - cạnh) Suy ra $\widehat{OEC}=\widehat{OED}$ Mà $\widehat{OEC}+\widehat{OED}=180^\circ$ (hai góc kề bù) Nên $\widehat{OEC}=\widehat{OED}=90^\circ$ Vậy $CB$ là tiếp tuyến của $(O)$. c) Ta có $OA=15 cm$ $AE=\frac{1}{2}AB=12 cm$ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $OAE$, ta có: $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(cm)$ Mà $OE=\frac{1}{2}AB$ nên $AB=2OE=18 cm$ Ta có $OA=OB=R=15 cm$ nên $AB>OB$ Mà $AB+OB>AB$ nên $AB+OB>AB+OB$ Hay $AB+OB>AB+15$ Vậy $AB+OB>30$ Mặt khác ta có $AB< 2R=30$ và $OB< 2R=30$ Nên $AB+OB< 60$ Vậy $30< AB+OB< 60$ Hay $AD< AB+OB< 2AD$ Câu 19 Để tính giá trị biểu thức \( A = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^2} + \frac{1}{2025^2}} \), chúng ta sẽ tìm hiểu cấu trúc của mỗi thành phần trong tổng này. Xét một thành phần chung: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này: \[ 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = 1 + \frac{(n+1)^2 + n^2}{n^2(n+1)^2} = 1 + \frac{n^2 + 2n + 1 + n^2}{n^2(n+1)^2} = 1 + \frac{2n^2 + 2n + 1}{n^2(n+1)^2} \] \[ = 1 + \frac{2n(n+1) + 1}{n^2(n+1)^2} = 1 + \frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2} + \frac{1}{n^2(n+1)^2} = 1 + \frac{2}{n(n+1)} + \frac{1}{n^2(n+1)^2} \] \[ = \left(1 + \frac{1}{n(n+1)}\right)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n(n+1)} \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \left(1 + \frac{1}{1 \cdot 2}\right) + \left(1 + \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + ... + \left(1 + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) \] \[ = 2024 + \left(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Do đó: \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + ... + \left(\frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}\right) \] Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại: \[ 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025} \] Vậy: \[ A = 2024 + \frac{2024}{2025} = 2024 + 0.999506172839506 = 2024.9995061728395 \] Kết luận: \[ A = 2024 + \frac{2024}{2025} = 2024 + 0.999506172839506 = 2024.9995061728395 \approx 2024.9995 \] Đáp số: \( A \approx 2024.9995 \)