giúp em với

Câu 4. Để xác định hai vectơ có cùng phương hay không, ta kiểm tra xem liệu có thể viết một vectơ dưới dạng bội của vectơ kia hay không. A. $\overrightarrow{-3a + \overrightarrow b}$ và $-\frac{1}{2}\overrightarrow a + 6\overrightarrow b$ Ta thử xem có thể viết $\overrightarrow{-3a + \overrightarrow b}$ dưới dạng bội của $-\frac{1}{2}\overrightarrow a + 6\overrightarrow b$ hay không: \[ \overrightarrow{-3a + \overrightarrow b} = k \left( -\frac{1}{2}\overrightarrow a + 6\overrightarrow b \right) \] \[ -3\overrightarrow a + \overrightarrow b = k \left( -\frac{1}{2}\overrightarrow a + 6\overrightarrow b \right) \] \[ -3\overrightarrow a + \overrightarrow b = -\frac{k}{2}\overrightarrow a + 6k\overrightarrow b \] So sánh hệ số của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ từ cả hai vế: \[ -3 = -\frac{k}{2} \quad \text{và} \quad 1 = 6k \] Giải phương trình: \[ -3 = -\frac{k}{2} \implies k = 6 \] \[ 1 = 6k \implies k = \frac{1}{6} \] Vì $k$ không đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình, nên hai vectơ này không cùng phương. B. $-\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b$ và $2\overrightarrow a + \overrightarrow b$ Ta thử xem có thể viết $-\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b$ dưới dạng bội của $2\overrightarrow a + \overrightarrow b$ hay không: \[ -\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b = k \left( 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \right) \] \[ -\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b = 2k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \] So sánh hệ số của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ từ cả hai vế: \[ -\frac{1}{2} = 2k \quad \text{và} \quad -1 = k \] Giải phương trình: \[ -\frac{1}{2} = 2k \implies k = -\frac{1}{4} \] \[ -1 = k \implies k = -1 \] Vì $k$ không đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình, nên hai vectơ này không cùng phương. C. $\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b$ và $-\frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b$ Ta thử xem có thể viết $\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b$ dưới dạng bội của $-\frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b$ hay không: \[ \frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b = k \left( -\frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b \right) \] \[ \frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b = -\frac{k}{2}\overrightarrow a + k\overrightarrow b \] So sánh hệ số của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ từ cả hai vế: \[ \frac{1}{2} = -\frac{k}{2} \quad \text{và} \quad -1 = k \] Giải phương trình: \[ \frac{1}{2} = -\frac{k}{2} \implies k = -1 \] \[ -1 = k \implies k = -1 \] Vì $k$ đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình, nên hai vectơ này cùng phương. D. $\frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ Ta thử xem có thể viết $\frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b$ dưới dạng bội của $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ hay không: \[ \frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b = k \left( \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \right) \] \[ \frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b = k\overrightarrow a - 2k\overrightarrow b \] So sánh hệ số của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ từ cả hai vế: \[ \frac{1}{2} = k \quad \text{và} \quad 1 = -2k \] Giải phương trình: \[ \frac{1}{2} = k \implies k = \frac{1}{2} \] \[ 1 = -2k \implies k = -\frac{1}{2} \] Vì $k$ không đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình, nên hai vectơ này không cùng phương. Kết luận: Chỉ có cặp vectơ trong đáp án C là cùng phương. Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b$ và $-\frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b$. Câu 5. Để hai vectơ $3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ và $(x + 1)\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}$ cùng phương, ta có thể viết: \[ 3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = k[(x + 1)\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}] \] với $k$ là một hằng số thực. Bây giờ, ta sẽ so sánh các thành phần tương ứng của hai vectơ này: \[ 3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = k(x + 1)\overrightarrow{a} + 6k\overrightarrow{b} \] So sánh các thành phần của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta có: \[ 3 = k(x + 1) \quad \text{(1)} \] \[ -2 = 6k \quad \text{(2)} \] Từ phương trình (2), ta giải ra $k$: \[ -2 = 6k \] \[ k = -\frac{1}{3} \] Thay $k = -\frac{1}{3}$ vào phương trình (1): \[ 3 = -\frac{1}{3}(x + 1) \] \[ 3 = -\frac{x + 1}{3} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 9 = -(x + 1) \] \[ 9 = -x - 1 \] \[ x = -10 \] Do đó, giá trị của $x$ là: \[ x = -10 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có giá trị $x = -10$. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Tuy nhiên, dựa trên các phép tính đã thực hiện, giá trị đúng của $x$ là $-10$. Đáp án: $x = -10$ Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và các phép toán vector. Phần a) Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}|$ Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tam giác đều ABC, các cạnh AB, AC và BC đều có độ dài bằng nhau và các góc đều bằng 60°. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \] Do tam giác đều, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác đều để đơn giản hóa biểu thức này. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC} \] Vậy: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}| = |2\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AC}| = 2a \] Phần b) Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ Ta sử dụng tính chất của tam giác đều và phép cộng vector. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Trong tam giác đều, ta có thể sử dụng công thức tính độ dài tổng hai vector: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos(60^\circ)} \] Vì $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] Đáp số: a) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}| = 2a$ b) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = a\sqrt{3}$ Câu 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình thoi ABCD, góc $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Ta cần tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Ta có thể sử dụng quy tắc hình bình hành để cộng hai vectơ này. Khi đó, vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ sẽ là vectơ từ A đến C, tức là $\overrightarrow{AC}$. Bây giờ, ta cần tính độ dài của đoạn thẳng AC. Vì ABCD là hình thoi, nên các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và bằng 2a. Góc $\widehat{BAD} = 60^\circ$, do đó tam giác ABD là tam giác đều, nghĩa là tất cả các góc đều bằng 60° và tất cả các cạnh đều bằng nhau. Do đó, độ dài AC sẽ là: \[ AC = 2a \times \sqrt{3} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ là: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = 2a \sqrt{3} \] Đáp án đúng là: A. $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = 2a \sqrt{3}$ Câu 3. Để tìm độ dài của véc tơ $\overrightarrow{u} = \frac{21}{4}\overrightarrow{OA} - \frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài của các véc tơ con: - Độ dài của $\overrightarrow{OA}$ là $|\overrightarrow{OA}| = a$. - Độ dài của $\overrightarrow{OB}$ là $|\overrightarrow{OB}| = a$. 2. Tính độ dài của các thành phần của véc tơ $\overrightarrow{u}$: - Độ dài của $\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$ là: \[ \left| \frac{21}{4}\overrightarrow{OA} \right| = \frac{21}{4} |\overrightarrow{OA}| = \frac{21}{4} a \] - Độ dài của $\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$ là: \[ \left| \frac{5}{2}\overrightarrow{OB} \right| = \frac{5}{2} |\overrightarrow{OB}| = \frac{5}{2} a \] 3. Áp dụng công thức tính độ dài véc tơ tổng: - Ta có $\overrightarrow{u} = \frac{21}{4}\overrightarrow{OA} - \frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$. - Độ dài của $\overrightarrow{u}$ là: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{\left( \frac{21}{4} a \right)^2 + \left( \frac{5}{2} a \right)^2} \] 4. Tính toán chi tiết: - Tính bình phương của các thành phần: \[ \left( \frac{21}{4} a \right)^2 = \left( \frac{21}{4} \right)^2 a^2 = \frac{441}{16} a^2 \] \[ \left( \frac{5}{2} a \right)^2 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 a^2 = \frac{25}{4} a^2 = \frac{100}{16} a^2 \] - Cộng các bình phương này lại: \[ \frac{441}{16} a^2 + \frac{100}{16} a^2 = \frac{541}{16} a^2 \] - Lấy căn bậc hai: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{\frac{541}{16} a^2} = \frac{\sqrt{541}}{4} a \] Vậy độ dài của véc tơ $\overrightarrow{u}$ là $\frac{a\sqrt{541}}{4}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{a\sqrt{541}}{4}$. Câu 4. Trước tiên, ta cần xác định các điểm và vectơ liên quan trong tam giác ABC. 1. Xác định các điểm và vectơ: - G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. - H là chân đường cao hạ từ A, và ta biết $\overrightarrow{BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HC}$. 2. Tìm tọa độ của H: - Vì $\overrightarrow{BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HC}$, ta có thể viết: \[ \overrightarrow{H} = \frac{3}{4}\overrightarrow{B} + \frac{1}{4}\overrightarrow{C} \] 3. Xác định vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{GC}$: - Điểm M nằm trên BC, do đó $\overrightarrow{BM} = x\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{M} = (1-x)\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C}$. - Vectơ $\overrightarrow{MA}$ là: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} - ((1-x)\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C}) \] - Trọng tâm G của tam giác ABC là: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] - Do đó, vectơ $\overrightarrow{GC}$ là: \[ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} = \overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} = \frac{2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3} \] 4. Tính vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$: - Ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC} = \left( \overrightarrow{A} - ((1-x)\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C}) \right) + \frac{2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3} \] - Kết hợp các thành phần: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{A} - (1-x)\overrightarrow{B} - x\overrightarrow{C} + \frac{2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3} \] - Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{A} - 3(1-x)\overrightarrow{B} - 3x\overrightarrow{C} + 2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] - Kết hợp các thành phần tương tự: \[ 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}) = 2\overrightarrow{A} - (3 - 3x + 1)\overrightarrow{B} + (2 - 3x)\overrightarrow{C} \] \[ 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}) = 2\overrightarrow{A} - (4 - 3x)\overrightarrow{B} + (2 - 3x)\overrightarrow{C} \] 5. Tìm giá trị của x để độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ nhỏ nhất: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ sẽ nhỏ nhất khi các thành phần của nó là nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi các thành phần của vectơ này là 0 hoặc tối thiểu. - Để vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ nhỏ nhất, ta cần: \[ 2\overrightarrow{A} - (4 - 3x)\overrightarrow{B} + (2 - 3x)\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} \] - Điều này xảy ra khi: \[ 2 = 0, \quad -(4 - 3x) = 0, \quad 2 - 3x = 0 \] - Giải phương trình $-(4 - 3x) = 0$: \[ 4 - 3x = 0 \implies x = \frac{4}{3} \] - Giải phương trình $2 - 3x = 0$: \[ 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] Do đó, giá trị của x sao cho độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ nhỏ nhất là $x = \frac{2}{3}$. Đáp số: $x = \frac{2}{3}$.