giúp em với

Câu 4. Trước tiên, ta cần xác định các điểm và vectơ liên quan trong tam giác ABC. 1. Xác định các điểm và vectơ: - G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AH}$. - H là chân đường cao hạ từ A, do đó $\overrightarrow{BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HC}$. - M là điểm di động trên BC, do đó $\overrightarrow{BM} = x\overrightarrow{BC}$. 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{GC}$: - Ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}$. - Ta có $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G}$. 3. Tính vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$: - Ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{G})$. 4. Xác định vectơ $\overrightarrow{M}$: - Vì $\overrightarrow{BM} = x\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{B} + x(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = (1-x)\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C}$. 5. Thay vào vectơ $\overrightarrow{MA}$: - Ta có $\overrightarrow{MA} = (1-x)\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$. 6. Xác định vectơ $\overrightarrow{G}$: - Trọng tâm G của tam giác ABC là $\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}$. 7. Thay vào vectơ $\overrightarrow{GC}$: - Ta có $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} = \frac{2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3}$. 8. Tính vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$: - Ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC} = (1-x)\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} + \frac{2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3}$. - Kết hợp các vectơ, ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC} = \left(1-x - \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{B} + \left(x + \frac{2}{3}\right)\overrightarrow{C} - \left(1 + \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{A}$. - Đơn giản hóa, ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC} = \left(\frac{2}{3} - x\right)\overrightarrow{B} + \left(x + \frac{2}{3}\right)\overrightarrow{C} - \frac{4}{3}\overrightarrow{A}$. 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ sẽ nhỏ nhất khi các thành phần của vectơ này là nhỏ nhất. - Để $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ nhỏ nhất, ta cần $\left(\frac{2}{3} - x\right)$ và $\left(x + \frac{2}{3}\right)$ nhỏ nhất. 10. Giải phương trình để tìm x: - Ta có $\frac{2}{3} - x = 0$ và $x + \frac{2}{3} = 0$. - Giải phương trình $\frac{2}{3} - x = 0$, ta có $x = \frac{2}{3}$. - Giải phương trình $x + \frac{2}{3} = 0$, ta có $x = -\frac{2}{3}$ (loại vì x phải nằm trong đoạn [0, 1]). Vậy giá trị của x sao cho độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GC}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $x = \frac{2}{3}$. Đáp số: $x = \frac{2}{3}$.