Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $33)~x^2+\frac1{x^2}(1+\sqrt{x^2+1})=2\sqrt{1+\sqrt{x^2+1}}$

Question

Accepted Answer

Điều kiện: $ x^2 + 1 > 0 $ (luôn đúng với mọi $ x $).

Nhân cả hai vế với $ x^2 $:
$$ x^4 + 1 + x^2 = 2x^2 \sqrt{1 + \sqrt{x^2 + 1}} $$

Đặt $ t = \sqrt{1 + \sqrt{x^2 + 1}} $. Ta có:
$$ t^2 = 1 + \sqrt{x^2 + 1} $$
$$ \sqrt{x^2 + 1} = t^2 - 1 $$

Thay vào phương trình ban đầu:
$$ x^4 + 1 + x^2 = 2x^2 t $$

Ta cũng có:
$$ x^2 + 1 = (t^2 - 1)^2 $$
$$ x^2 + 1 = t^4 - 2t^2 + 1 $$
$$ x^2 = t^4 - 2t^2 $$

Thay $ x^2 = t^4 - 2t^2 $ vào phương trình:
$$ (t^4 - 2t^2)^2 + 1 + t^4 - 2t^2 = 2(t^4 - 2t^2)t $$
$$ t^8 - 4t^6 + 4t^4 + 1 + t^4 - 2t^2 = 2t^5 - 4t^3 $$
$$ t^8 - 4t^6 + 5t^4 - 2t^2 + 1 = 2t^5 - 4t^3 $$

Rearrange the equation:
$$ t^8 - 4t^6 - 2t^5 + 5t^4 + 4t^3 - 2t^2 + 1 = 0 $$

Phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp. Ta thử nghiệm các giá trị đơn giản của $ t $.

Thử $ t = 1 $:
$$ 1^8 - 4 \cdot 1^6 - 2 \cdot 1^5 + 5 \cdot 1^4 + 4 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 4 - 2 + 5 + 4 - 2 + 1 = 3 \neq 0 $$

Thử $ t = 2 $:
$$ 2^8 - 4 \cdot 2^6 - 2 \cdot 2^5 + 5 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 256 - 256 - 64 + 80 + 32 - 8 + 1 = 85 \neq 0 $$

Thử $ t = \sqrt{2} $:
$$ (\sqrt{2})^8 - 4(\sqrt{2})^6 - 2(\sqrt{2})^5 + 5(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^3 - 2(\sqrt{2})^2 + 1 = 16 - 32 - 8\sqrt{2} + 20 + 8\sqrt{2} - 4 + 1 = 1 \neq 0 $$

Do phương trình phức tạp, ta thử nghiệm lại các giá trị đơn giản hơn.

Thử $ t = \sqrt{2} $:
$$ \sqrt{2}^2 = 2 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 1} = 1 \Rightarrow x^2 + 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 $$

Kiểm tra lại:
$$ 0^2 + \frac{1}{0^2}(1 + \sqrt{0^2 + 1}) = 2\sqrt{1 + \sqrt{0^2 + 1}} $$
$$ 0 + \frac{1}{0}(1 + 1) = 2\sqrt{2} $$
$$ 0 + \frac{1}{0} \times 2 = 2\sqrt{2} $$
$$ 0 + \text{không xác định} = 2\sqrt{2} $$

Vậy phương trình không có nghiệm.