Giúp với ạ

Câu 17 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( D \) Biểu thức \( D \) được cho là: \[ D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( D \) Phân thức thứ nhất: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] Phân thức thứ ba: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( D \) Ta có: \[ D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] Rút gọn phần trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] Do đó: \[ D = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} : \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] Chia hai phân thức: \[ D = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x} - 1} \] Rút gọn: \[ D = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( D \) khi \( x = 2025 - 2\sqrt{2024} \) Thay \( x = 2025 - 2\sqrt{2024} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{2025 - 2\sqrt{2024}}} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ 2025 - 2\sqrt{2024} = (\sqrt{2024} - 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{2025 - 2\sqrt{2024}} = \sqrt{(\sqrt{2024} - 1)^2} = \sqrt{2024} - 1 \] Vậy: \[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{2024} - 1} \] Để tính giá trị của \( \frac{1}{\sqrt{2024} - 1} \), ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{2024} + 1 \): \[ \frac{1}{\sqrt{2024} - 1} = \frac{\sqrt{2024} + 1}{(\sqrt{2024} - 1)(\sqrt{2024} + 1)} = \frac{\sqrt{2024} + 1}{2024 - 1} = \frac{\sqrt{2024} + 1}{2023} \] Cuối cùng: \[ D = 1 + \frac{\sqrt{2024} + 1}{2023} = \frac{2023 + \sqrt{2024} + 1}{2023} = \frac{2024 + \sqrt{2024}}{2023} \] Đáp số: \[ D = \frac{2024 + \sqrt{2024}}{2023} \] Câu 18 a) Ta có $\widehat{AOD}=2\times \widehat{ABD}=60^0$ (góc tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung) $\widehat{BAD}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) b) Ta có $\widehat{CAO}=90^0$ (AC là tiếp tuyến của (O)) $\widehat{AOB}=90^0$ (OE vuông góc với AB) $\widehat{CBO}=90^0$ (tổng ba góc trong tam giác bằng 180) Vậy CB là tiếp tuyến của (O) c) Ta có $OA=OB=15(cm)$ $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=30^0$ (tam giác cân) $\widehat{OBC}=60^0$ (tổng hai góc kề bù bằng 180) $\widehat{COB}=30^0$ (tổng ba góc trong tam giác bằng 180) Tam giác COB có $\widehat{COB}=\widehat{OBC}$ nên là tam giác cân đỉnh O $\frac{OC}{OB}=\frac{\sin 60^0}{\sin 30^0}$ $OC=15\times \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=15\times \sqrt{3}=25,98(cm)$ Ta có $AD=30(cm)$ $BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12(cm)$ $AB+BD=24+12=36(cm)$ $2AD=60(cm)$ Vậy ta có $AD<AB+BD<2AD$ Câu 19 Để tính giá trị biểu thức \( A = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^2} + \frac{1}{2025^2}} \), chúng ta sẽ tìm hiểu từng thành phần của biểu thức này. Xét một thành phần tổng quát: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này: \[ 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{n^2(n+1)^2 + (n+1)^2 + n^2}{n^2(n+1)^2} \] \[ = \frac{n^2(n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1) + n^2}{n^2(n+1)^2} \] \[ = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2}{n^2(n+1)^2} \] \[ = \frac{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1}{n^2(n+1)^2} \] \[ = \frac{(n^2 + n + 1)^2}{n^2(n+1)^2} \] Do đó: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{(n^2 + n + 1)^2}{n^2(n+1)^2}} = \frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)} \] \[ = \frac{n(n+1) + 1}{n(n+1)} = 1 + \frac{1}{n(n+1)} \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \left(1 + \frac{1}{1 \cdot 2}\right) + \left(1 + \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + ... + \left(1 + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) \] \[ = 2024 + \left(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Do đó: \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025} = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + ... + \left(\frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}\right) \] \[ = 1 - \frac{1}{2025} \] Vậy: \[ A = 2024 + \left(1 - \frac{1}{2025}\right) = 2024 + 1 - \frac{1}{2025} = 2025 - \frac{1}{2025} \] Đáp số: \[ A = 2025 - \frac{1}{2025} \]