Chọn đáp án và giải thích tại sao chọn đáp án đấy

Câu 1. Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Ta sẽ kiểm tra từng câu: A. 8 là số chính phương. - Số chính phương là số bình phương của một số tự nhiên. 8 không phải là số chính phương vì không có số tự nhiên nào bình phương bằng 8. Do đó, câu này là mệnh đề sai. B. 15 là số nguyên tố. - Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó. 15 chia hết cho 1, 3, 5 và 15 nên không phải là số nguyên tố. Do đó, câu này là mệnh đề sai. C. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. - Đây là một tính chất của hình thoi. Do đó, câu này là mệnh đề đúng. D. Buồn ngủ quá! - Đây là một câu cảm thán, không phải là mệnh đề. E. Huế là một thành phố của Việt Nam. - Huế thực sự là một thành phố của Việt Nam. Do đó, câu này là mệnh đề đúng. F. Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. - Sông Hương thực sự chảy qua thành phố Huế. Do đó, câu này là mệnh đề đúng. G. $5 + 19 = 24$. - Tính toán $5 + 19 = 24$ là đúng. Do đó, câu này là mệnh đề đúng. H. Bạn có thích học môn Toán không? - Đây là một câu hỏi, không phải là mệnh đề. Tóm lại, các câu là mệnh đề là: A, B, C, E, F, G. Câu 2. a) Mệnh đề $P$ là: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \geq 2x$. Mệnh đề phủ định của $P$ là: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 2x$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 2x.$ b) Mệnh đề $P$ là: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 2x$. Mệnh đề phủ định của $P$ là: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 2x$. Vậy đáp án đúng là: D. $\overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 2x.$ Câu 3. a) Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{R}; -2 < x \leq 3\} \) - Điều kiện \( -2 < x \) nghĩa là \( x \) lớn hơn -2 nhưng không bao gồm -2. - Điều kiện \( x \leq 3 \) nghĩa là \( x \) nhỏ hơn hoặc bằng 3, bao gồm cả 3. Do đó, tập hợp \( A \) được viết lại dưới dạng khoảng và đoạn là: \[ A = (-2; 3] \] Đáp án đúng là: A. \( A = (-2; 3] \) b) Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{R}; -1 \leq x \leq 3\} \) - Điều kiện \( -1 \leq x \) nghĩa là \( x \) lớn hơn hoặc bằng -1, bao gồm cả -1. - Điều kiện \( x \leq 3 \) nghĩa là \( x \) nhỏ hơn hoặc bằng 3, bao gồm cả 3. Do đó, tập hợp \( A \) được viết lại dưới dạng đoạn là: \[ A = [-1; 3] \] Đáp án đúng là: D. \( A = [-1; 3] \) Câu 4. Để xác định điểm $A(-1;3)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của điểm $A$ vào mỗi bất phương trình và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không. A. $-3x + 2y - 4 > 0$ Thay $x = -1$ và $y = 3$ vào: $-3(-1) + 2(3) - 4 = 3 + 6 - 4 = 5 > 0$ Do đó, điểm $A$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình này. B. $x - 3y < 0$ Thay $x = -1$ và $y = 3$ vào: $-1 - 3(3) = -1 - 9 = -10 < 0$ Do đó, điểm $A$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình này. C. $2x + y - 4 > 0$ Thay $x = -1$ và $y = 3$ vào: $2(-1) + 3 - 4 = -2 + 3 - 4 = -3 < 0$ Do đó, điểm $A$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình này. D. $x + 3y > 0$ Thay $x = -1$ và $y = 3$ vào: $-1 + 3(3) = -1 + 9 = 8 > 0$ Do đó, điểm $A$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình này. Vậy điểm $A(-1;3)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + y - 4 > 0$. Đáp án đúng là: C. $2x + y - 4 > 0$. Câu 5. a) Tập xác định của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ là: Điều kiện xác định: $x - 3 \neq 0$ Suy ra: $x \neq 3$ Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. Đáp án đúng là C. b) Tập xác định của hàm số $y=\frac{3x-1}{x+3}$ là: Điều kiện xác định: $x + 3 \neq 0$ Suy ra: $x \neq -3$ Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Đáp án đúng là C. c) Tập xác định của hàm số $y=\frac{-x^2+2x}{-2x^2+3x-1}$ là: Điều kiện xác định: $-2x^2 + 3x - 1 \neq 0$ Ta giải phương trình $-2x^2 + 3x - 1 = 0$: $2x^2 - 3x + 1 = 0$ $(2x - 1)(x - 1) = 0$ $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = 1$ Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}, 1\right\}$. Đáp án đúng là B. d) Tập xác định của hàm số $y=\frac{-x^2+2x}{x^2+1}$ là: Điều kiện xác định: $x^2 + 1 \neq 0$ Ta thấy rằng $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, do đó điều kiện này luôn luôn thỏa mãn. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$. Đáp án đúng là A. Câu 6. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho. A. $y = x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = 1$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. B. $y = -2x$ - Đây cũng là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = -2$ và $b = 0$. - Vì $a < 0$, hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C. $y = 2x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = 2$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = \frac{1}{3}x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = \frac{1}{3}$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số $y = -2x$ là nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: B. $y = -2x$. Câu 7. Để xác định hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của từng hàm số. 1. Hàm số $f(x) = x^2$: - Đây là hàm bậc hai, đồ thị là parabol mở rộng lên trên. - Hàm số này nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0, +\infty)$. - Do đó, hàm số $f(x) = x^2$ không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. 2. Hàm số $g(x) = -x^2$: - Đây cũng là hàm bậc hai, nhưng đồ thị là parabol mở rộng xuống dưới. - Hàm số này đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0, +\infty)$. - Do đó, hàm số $g(x) = -x^2$ không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. 3. Hàm số $h(x) = x$: - Đây là hàm bậc nhất, đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc dương. - Hàm số này đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. 4. Hàm số $k(x) = -x$: - Đây cũng là hàm bậc nhất, nhưng đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc âm. - Hàm số này nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng chỉ có hàm số $h(x) = x$ là đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $h(x) = x$.